湖北省武汉市蔡家湾中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 840和1764的最大公约数是( )
A.84 B. 12 C. 168 D. 252
参考答案:
A
2. 设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
3. 若幂函数 的图像经过原点,则m的值为( )
A. 1或3 B. 2或3 C. 3 D. 2
参考答案:
C
【分析】
利用幂函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】∵幂函数 的图像经过原点,
∴即
故选:C
【点睛】本题考查幂函数的图像与性质,考查运算能力,属于基础题.
4. 已知x,y满足不等式组,则z=2x+y的最大值与最小值的比值为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
D
【考点】简单线性规划.
【专题】计算题;数形结合.
【分析】本题处理的思路为:根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最值,即可求解比值.
【解答】解:约束条件 对应的平面区域如下图示:
当直线z=2x+y过A(2,2)时,Z取得最大值6.
当直线z=2x+y过B(1,1)时,Z取得最小值3,
故z=2x+y的最大值与最小值的比值为:2.
故选D.
【点评】本题考查的知识点是线性规划,考查画不等式组表示的可行域,考查数形结合求目标函数的最值.
5. 已知双曲线:右支上非顶点的一点关于原点的对称点为,为其右焦点,若,设,且,则双曲线离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 读两段程序:
对甲、乙程序和输出结果判断正确的是( )
A.程序不同,结果不同 B.程序不同,结果相同
C.程序相同,结果不同 D.程序相同,结果相同
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并打印S值
【解答】解:程序甲是计数变量i从1开始逐步递增直到i=1000时终止,
累加变量从0开始,这个程序计算的是:1+2+3+…+1000;
程序乙计数变量从1000开始逐步递减到i=1时终止,
累加变量从0开始,这个程序计算的是1000+999+…+1.
但这两个程序是不同的.两种程序的输出结果都是:S=1+2+3+…+1000=500500.
故选B.
【点评】考查由框图分析出算法结构的能力,本题考查是循环的结果.
7. “命题为真命题”是“命题为真命题”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
【知识点】充分条件与必要条件
【试题解析】因为由为真命题,得p、q均为真命题,能推出真命题,但反之不成立,所以,是充分不必要条件
故答案为:A
8. 若,则等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
参考答案:
C
9. 图2给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知命题p与命题q,若命题:(¬p)∨q为假命题则下列说法正确是( )
A.p真,q真 B.p假,q真 C.p真,q假 D.p假,q假
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由已知中命题:(¬p)∨q为假命题,结合复合命题真假判断的真值表,可得答案.
【解答】解:若命题:(¬p)∨q为假命题,
则命题(¬p),q均为假命题,
故命题p为真命题,q为假命题,
故选:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设随机变量,则 .
参考答案:
略
12. 不等式的解集是 .
参考答案:
13. 方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆,则m的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,)
【考点】二元二次方程表示圆的条件.
【分析】根据圆的一般方程即可得到结论.
【解答】解:若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆,
则满足1+1﹣4m>0,
即m<,
故答案为:(﹣∞,).
14. 复数的共轭复数是 。
参考答案:
略
15. (5分)(2013?宣武区校级模拟)(3x2+k)dx=10,则k= .
参考答案:
1
【分析】欲求k的值,只须求出函数3x2+k的定积分值即可,故先利用导数求出3x2+k的原函数,再结合积分定理即可求出用k表示的定积分.最后列出等式即可求得k值.
【解答】解:∵∫02(3x2+k)dx
=(x3+kx)|02
=23+2k.
由题意得:
23+2k=10,
∴k=1.
故答案为:1.
【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
16. 命题“”的否定是 ▲ .
参考答案:
17. 化简的结果是 A. B. C. D.
参考答案:
A
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=,且4sin2﹣cos2A=.
(1)求角A的大小;
(2)求△ABC的周长l取值范围.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】计算题;转化思想;定义法;解三角形.
【分析】(1)由二倍角公式化简得到2(1﹣cosA)﹣2(cos2A﹣1)=,解得即可;
(2)由由正弦定理===2,得到b=2sinB,c=2sinC,再根据三角函数的性质即可求出.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵4sin2﹣cos2A=,
∴2(1﹣cosA)﹣2(cos2A﹣1)=
解得cosA=,
∴A=;
(2)由正弦定理===2,
∴b=2sinB,c=2sinC,
∴l=+2sinB+2sinC=+2sin(B+),
∵0<B<,
∴<sin(B+)≤1,
∴2<l≤3.
【点评】本题考查了三角函数的化简以及正弦定理得应用,属于中档题.
19. 过(4,0)的直线与抛物线y2=4x交于A(x1y1),B(x2,y2)两点.
(1)求证:x1x2,y1y2均为定值.
(2)求证:以线段AB为直径的圆经过一定点,并求出该定点的坐标.
参考答案:
【考点】直线与抛物线的位置关系;抛物线的简单性质.
【分析】(1)过点P(4,0)且斜率为k的直线l的方程为:y=k(x﹣4).联立抛物线方程,由韦达定理可得x1?x2=16,y1?y2=﹣16,又由直线斜率不存在时,x1?x2=16,y1?y2=﹣16也成立,可得结论;
(2)由图形关于x轴对称,得定点在x轴上,设定点坐标为K(m,0),可得m=0,即以线段AB为直径的圆经过必过原点(0,0).
【解答】证明:过点P(4,0)且斜率为k的直线l的方程为:y=k(x﹣4).…
把y=k(x﹣4)代入y2=4x,消去y得 k2x2﹣(8k2+4)x+16k2=0,
由于直线与抛物线交于不同两点,
故k2≠0且△>0,
x1?x2=16,而y1?y2<0,
∴y1?y2=﹣16.…
当过点P(4,0)且斜率不存在时,也满足x1?x2=16,y1?y2=﹣16
综上可得:x1x2,y1y2均为定值.
(2)由图形关于x轴对称,得定点在x轴上,设定点坐标为K(m,0),
①当直线AB的斜率不存在时,设直线AB方程为x=2,
求得A(4,4),B(4,﹣4),
显然,以AB为直径的圆恒过定点(0,0),(8,0);
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x﹣4),代入y2=4x:
得k2x2﹣(8k2+4)x+16k2=0;
设A(x1,2),B(x2,﹣2),
由根与系数的关系得,x1+x2=,x1x2=16;
则y1+y2=k(x1+x2﹣8)=,|AB|=,
此时圆心坐标为:(,),半径r=,
此时圆心到原点的距离等于半径,
故以线段AB为直径的圆经过必过原点(0,0).
20. 已知椭圆,过点作圆的切线交椭圆G于A、B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将表示为的函数,并求的最大值.
参考答案:
略
21. 已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围;
(3)若函数,其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)原不等式即为,设t=2x,则不等式化为t﹣t2>16﹣9t,
即t2﹣10t+16<0,解得,即,∴1<x<3,∴原不等式的解集为 (1,3).…………4分
(2)函数在[-1,1]上有零点,∴在[-1,1]上有解,即在[-1,1]有解.
设,∵,∴,
∴.∵在[-1,1]有解,∴,故实数m的取值范围为.…………8分
(3)由题意得,解得.
由题意得,
即
对任意恒成立,令,,则.
则得对任意的恒成立,
∴对任意的恒成立,
∵在上单调递减,∴.
∴,∴实数的取值范围.…………12分
22. (12分).如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA = 2,AD = DC = 1,点E在SD上,且AE⊥SD。
(1)证明:AE⊥平面SDC;
(2)求三棱锥B—ECD的体积。
参考答案:
(Ⅰ)证明:侧棱底面,底面
. ……………………….1分
又底面是直角梯形,垂直于和
,又
侧面,……………………….3分
侧面
平面……………………….5分
(Ⅱ)
……7分
在中
, ……9分
又因为,
所以点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE ……11分
所以 ……12分