湖北省武汉市青云中学2023年高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
参考答案:
D
2. 设椭圆,双曲线,(其中)的离心率分别为 ,则( )
A. B. C. D. 与1大小不确定
参考答案:
B
在椭圆中,,∴,
在双曲线中,,∴,
∴
3. 等差数列满足:,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 若集合,则实数的取值个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】几何体为三棱锥,棱锥的高为1,底面为直角边为2的等腰直角三角形.
【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,棱锥的高为1,底面为直角边为2的等腰直角三角形,
∴几何体的体积V=××2×2×1=.
故选:B.
7. 若b为实数,且a+b=2,则3a+3b的最小值为( )
A.18 B.6 C.2 D.2
参考答案:
B
【考点】基本不等式.
【分析】3a+3b中直接利用基本不等式,再结合指数的运算法则,可直接得到a+b.
【解答】解:∵a+b=2,∴3a+3b
故选B
8. 下列关于零向量的说法不正确的是( )
A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的方向是任意的
C.零向量与任一向量共线 D.零向量只能与零向量相等
参考答案:
A
【考点】零向量.
【分析】根据题意,依次分析选项:对于A、零向量有方向,故可得A错误;对于B、符合零向量的定义,B正确;对于C、符合零向量的性质,C正确;对于D、符合零向量的定义,D正确;综合可得答案.
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于A、零向量有方向,且其方向是任意的,故A错误;
对于B、零向量的方向是任意的,符合零向量的定义,B正确;
对于C、零向量与任一向量共线,C正确;
对于D、零向量是模为0的向量,故零向量只能与零向量相等,D正确;
故选:A.
【点评】本题考查零向量的定义以及性质,关键是掌握零向量的有关性质.
9. 已知集合,,则A∩B=( ).
A. B. {-1,0,1,2}
C. {1,2} D. {0,1,2}
参考答案:
D
【分析】
先分别求出集合A,B,由此能求出.
【详解】,
本题正确选项:D
10. 已知且,则函数与函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=的反函数是f﹣1(x),则f﹣1()= .
参考答案:
﹣1
【考点】反函数.
【分析】由题意,x≤0,2x=,求出x,即可得出结论.
【解答】解:由题意,x≤0,2x=,∴x=﹣1,
∴f﹣1()=﹣1.
故答案为﹣1.
12. 给出定义:若,则叫做实数的“亲密函数”,记作,在此基础上给出下列函数的四个命题:
①函数在上是增函数;②函数是周期函数,最小正周期为1;
③函数的图像关于直线对称;
④当时,函数有两个零点.
其中正确命题的序号是
参考答案:
②③④
本题主要考查新定义函数,函数的单调性、周期性、对称性以及函数的零点问题.要求能根据定义画出函数的图像,从中体会数形结合思想的应用.依题可知当时,;当时,;当时,,作出函数的图像,
可知①错,②,③对,再作出的图像可判断有两个交点,④对.
13. 已知log2x+log2y=1,则x+y的最小值为 .
参考答案:
2
【考点】基本不等式;对数的运算性质.
【分析】由log2x+log2y=1,得出xy=2,且x>0,y>0;由基本不等式求出x+y的最小值.
【解答】解:∵log2x+log2y=1,
∴log2(xy)=1,
∴xy=2,其中x>0,y>0;
∴x+y≥2=2,当且仅当x=y=时,“=”成立;
∴x+y的最小值为.
故答案为:2.
14. 已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=__________.
参考答案:
-1
15. 在直角三角形中,,,则__________.
参考答案:
16
16. 将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0—1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第次全行的数都为1的是第 行.
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…………
参考答案:
17. 已知,则_____________________。
参考答案:
。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,若的单调减区间 恰为(0,4)。
(1)求的值:
(2)若对任意的,关于的方程总有实数解,求实数的取值范围。
参考答案:
略
19. (本小题共13分)
设△的内角的对边分别为且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的值.
参考答案:
【知识点】解斜三角形
【试题解析】(Ⅰ),
由正弦定理得,
在△中,,即,,
.
(Ⅱ),由正弦定理得,
由余弦定理,
得,
解得,∴.
20. 已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4=﹣,且对于任意的n∈N*有Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列;
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)已知bn=n(n∈N+),记,若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,求实数m的范围.
参考答案:
【考点】等比数列的通项公式;数列的求和;数列与函数的综合.
【分析】(Ⅰ)设出等比数列的公比,利用对于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差得2S3=S1+S2,代入首项和公比后即可求得公比,再由已知,代入公比后可求得首项,则数列{an}的通项公式可求;
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的an和已知bn=n代入整理,然后利用错位相减法求Tn,把Tn代入(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)后分离变量m,使问题转化为求函数的最大值问题,分析函数的单调性时可用作差法.
【解答】解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,
∵对于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差,
∴2.
整理得:.
∵a1≠0,∴,2+2q+2q2=2+q.
∴2q2+q=0,又q≠0,∴q=.
又,
把q=代入后可得.
所以,;
(Ⅱ)∵bn=n,,∴,
∴.
.
∴=
∴.
若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,
则(n﹣1)2≤m[(n﹣1)?2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立,
也就是(n﹣1)2≤m(n﹣1)?(2n+1﹣1)对于n≥2恒成立,
∴m≥对于n≥2恒成立,
令,
∵=
∴f(n)为减函数,∴f(n)≤f(2)=.
∴m.
所以,(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立的实数m的范围是[).
21. 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,.
(1)证明:AD1⊥B1D;
(2)设E是线段A1B1上的动点,是否存在这样的点E,使得二面角E-BD1-A的余弦值为,如果存在,求出B1E的长;如果不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)连结,,则由余弦定理可知,
由直棱柱可知,
(6分)
(2)以为原点,以方向为轴,以方向为轴,以方向为轴,
建立坐标系.
(),,,
,,
,,
,又,则,故长为1.(12分)
22. (本小题满分12分)己知函数
(1)当时,求函数的最小值和最大值;
(2)设ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=2,若向量m=(1,a)与向量n=(2,b)共线,求a,b的值.
参考答案:
…………3分
∵,∴,
∴,从而
则的最小值是,最大值是2 …………6分
(2),则,