湖北省鄂州市第三初级中学高二数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列程序执行后输出的结果是( )
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
参考答案:
B
2. 有一批种子,每一粒发芽的概率为,播下粒种子,恰有粒发芽的概率为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
参考答案:
B
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,由于黄瓜必选,故需要再选2种蔬菜,其方法数是C32种,进而由排列的意义,进行全排列,计算可得答案.
【解答】解:∵黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C32种,
在不同土质的三块土地上种植的方法是A33,
∴种法共有C32?A33=18种,
故选B.
【点评】本题考查排列、组合的综合运用,要注意排列、组合的不同意义,进而分析求解.
4. 用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1(n∈N*)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是( )
A.16(42k﹣1+3k+1)﹣13×3k+1
B.4×42k+9×3k
C.(42k﹣1+3k+1)+15×42k﹣1+2×3k+1
D.3(42k﹣1+3k+1)﹣13×42k﹣1
参考答案:
A
【考点】RG:数学归纳法.
【分析】本题考查的数学归纳法的步骤,为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证,在分解的过程中一定要分析出含42k﹣1+3k+1的情况.
【解答】解:假设n=k时命题成立.即:42k﹣1+3k+1被13整除.
当n=k+1时,42k+1+3k+2=16×42k﹣1+3×3k+1=16(42k﹣1+3k+1)﹣13×3k+1.
故选:A.
【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.
5. 设变量满足,则的最大值和最小值分别为( )
A、2,-2 B、2,-4 C、 4,-2 D、 4,-4
参考答案:
D
6. 设函数在R上的导函数为,且,下面的不等式在R上恒成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 已知,且,则的值为
(A) (B)或 (C) (D)或
参考答案:
【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质
【答案解析】C解析:解:因为0<<1,而,得,所以,则选C
【思路点拨】熟悉的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.
8. 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A. B. C.2- D.-1
参考答案:
D
略
9. 已知点、,则线段的垂直平分线的方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 设数列{an}满足,则an =( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
①
当n 时, ②,
①- ②: ,故 (n ),
当n=1时,,故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题中:
(1)、平行于同一直线的两个平面平行;
(2)、平行于同一平面的两个平面平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行;
(4)、垂直于同一平面的两直线平行.
其中正确的个数有_____________。
参考答案:
解析:对于(1)、平行于同一直线的两个平面平行,反例为:把一支笔放在打开的课本之间;(2)是对的;(3)是错的;(4)是对的
12. 已知命题.则是__________;
参考答案:
13. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ,表面积为 .
参考答案:
12,36.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图作出棱锥的直观图,根据三视图数据计算体积和表面积.
【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:
其中底面ABCD是边长为3正方形,EA⊥底面ABCD,EA=4.
∴棱锥的体积V=.
棱锥的四个侧面均为直角三角形,EB=ED=5,
∴棱锥的表面积S=32++=36.
故答案为12;36.
14. 已知椭圆,为左顶点,为短轴端点,为右焦点,且,则这个椭圆的离心率等于 。
参考答案:
略
15. 某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)~正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_________________.
参考答案:
10
略
16. 已知抛物线的焦点为,经过的直线与抛物线相交于两点,则以AB为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是 。
参考答案:
17. 点O在△ABC内部,且满足4+5+6=,则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为 .
参考答案:
15:11
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】可作,从而可得到,然后以OA,OD为邻边作平行四边形OAED,并连接OE,设交BC于点N,这样画出图形,根据三角形的相似便可得出,进而便可求出的值,这样即可求出的值,从而得出△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比值.
【解答】解:作,则;
∴;
∴;
以为邻边作平行四边形OAED,连接OE,交BC于N,如图所示:
;
∴;
根据三角形相似得,,;
∴;
∴;
∴;
∴;
∴△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15:11.
故答案为:15:11.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数 (a>0) .
(1)若a=1,求在x∈(0,+∞)时的最大值;
(2)若直线是曲线的切线,求实数a的值。
参考答案:
(1)当a=1时≤,当x=1时取“=”;
(2)设切点(x0,y0),则,
则,得 ∴ ……①
又由切线,则 则:……②
由将①代入②得
若则:得 解得a=2
若则:得 解得a= 即a=2或a=
19. (本小题满分13分)已知集合.,函数,,若函数的定义域为,且,
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求关于的方程的实数解
参考答案:
(Ⅰ)由题知不等式解得即为,由题意,则,解得
(Ⅱ),当时,,即,即;当时,即,无解,
20. 已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,不等式f(x)≥bx﹣2对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)对函数进行求导,然后令导函数大于0求出x的范围,令导函数小于0求出x的范围,即可得到答案;
(Ⅱ)由函数f(x)在x=1处取得极值求出a的值,再依据不等式恒成立时所取的条件,求出实数b的取值范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
..
若a≤0,则f'(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)上递减;
若a>0,则由f'(x)>0得:;
由f'(x)<0得:.
∴f(x)在上递减,在递增.
(Ⅱ)∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(1)=0,即a﹣1=0,解得:a=1.
∴f(x)=x﹣1﹣lnx.
由f(x)≥bx﹣2得:x﹣1﹣lnx≥bx﹣2,
∵x>0,
∴.
令,
则
由g'(x)>0得:x>e2;
由g'(x)<0得:0<x<e2.
所以,g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+∞)递增.
∴,
∴.
21. 不等式证明(本小题满分10分)
设a、b、c均为实数,求证:++≥++.
参考答案:
2.证明: ∵a、b、c均为实数.
∴(+)≥≥,当a=b时等号成立;………………4分
(+)≥≥,当b=c时等号成立;
(+)≥≥.………………6分
三个不等式相加即得++≥++,………………9分
当且仅当a=b=c时等号成立. ………………10分
22. 设函数f(x)=x2+alnx,(a<0).
(1)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为,求实数a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2﹣(1﹣a)x,当a≤﹣1时,讨论f(x)与g(x)图象交点的个数.
参考答案:
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出f(x)的导数,由题意可得切线的斜率,即有a的方程,解方程可得a的值;
(2)求出函数的导数,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间,注意函数的定义域;
(3)令F(x)=f(x)﹣g(x),问题转化为求函数F(x)的零点个数,通过讨论a的范围,求出函数F(x)的单调性,从而判断函数F(x)的零点个数即f(x),g(x)的交点即可
【解答】解:(1)函数f(x)=x2+alnx的导数为f′(x)=x+,
由函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为,
可得2+=,解得a=﹣3;
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=,
当a<0时,f′(x)=,
当0<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
综上,当a<0时,f(x)的增区间是(,+∞),减区间是(0,);
(3)令F(x)=f(x)﹣g(x)=x2+alnx﹣x2+(1﹣a)x
=﹣x2+(1﹣a)x+alnx,x>0,
问题等价于求函数F(x)的零点个数.
当a≤﹣1时,F′(x)=﹣x+1﹣a+=﹣,
①当a=﹣1时,F′(x)≤0,F(x)递减,
由F(3)=﹣+6﹣ln3=﹣ln3>0,F(4)=﹣8+8﹣ln4<0,
由零点存在定理可得F(x)在(3,4)内存在一个零点;
②当a<﹣1时,即﹣a>1时,F(x)在(0,1)递减,(1,﹣a)递增,(﹣a,+∞)递减,
由极小值F(1)=﹣+(1﹣a)+aln1=﹣a>0,
极大值F(﹣a)=﹣a2+a2﹣a+aln(﹣a)=a2﹣a+aln(﹣a)>0,
由x→+∞时,F(x)→﹣∞,
可得F(x)存在一个零点.
综上可得,当a≤﹣1时,f(x)与g(x)图象交点的个数为1.
【点评】本题考查了函数的单调性、零点问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.