湖北省黄冈市三博中学2022-2023学年高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】由题意连接A1C1,则∠AC1A1为所求的角,在△AC1A1计算.
【解答】解:连接A1C1,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
∴A1A⊥平面A1B1C1D1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角.
在△AC1A1中,sin∠AC1A1===.
故选D.
2. 函数,其中为自然对数的底数,若存在实数使成立,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 设复数,若,则复数z的虚部为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4.
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:
人体的脂肪含量百分比和年龄
年龄
23
27
39
41
45
49
50
53
56
58
60
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
31.4
33.5
35.2
通过计算得到回归方程为,利用这个方程,我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%,那么数据20.90%的意义是:
A 某人年龄37岁,他体内脂肪含量为20.90%;
B 某人年龄37岁,他体内脂肪含量为20.90%的概率最大;
C 某人年龄37岁,他体内脂肪含量的期望值为20.90%;
D 20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计;
参考答案:
答案:D
5. 已知命题;命题,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 若等比数列的前项和为(为常数,),则
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 若实数,满足则的最大值是( )
A.-1 B. 1 C. 2 D.3
参考答案:
C
8. 的单调减区间为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 抛物线的准线方程是,则a的值为 ( )
(A) (B)- (C)8 (D)-8
参考答案:
答案:B
10. 已知单位向量,,满足,则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】设单位向量,的夹角为θ,根据,得?(+2)=0,代入数据求出cosθ的值.
【解答】解:设单位向量,的夹角为θ,
∵,
∴?(+2)=+2=0,
即12+2×1×1×cosθ=0,
解得cosθ=﹣,
∴与夹角的余弦值为﹣.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,已知,给出下列结论:
①由已知条件,这个三角形被唯一确定;
②△ABC一定是钝角三角形;
③;
④若,则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是 _______
参考答案:
②③
【分析】
根据正弦定理及三角形面积公式,余弦定理,逐一分析选项即可.
【详解】因为(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,设,可解得,对于①,边长不确定,所以①错误,对于②由余弦定理,可知A为钝角,△ABC一定是钝角三角形,所以②正确,对于③由正弦定理知,③正确,对于④由,又,,故④错误.
【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理,三角形面积公式求面积,属于中档题.
12. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时 且,则不等式的解集为 .
参考答案:
13. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1万人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这1万人中用分层抽样方法抽100人作进一步调查,则在(元)月收入段应抽出 人.
参考答案:
25
14. 已知的周长为6,且成等比数列,则的取值范围是 .
参考答案:
15. 将函数y=sin2x按向量=(-,1)平移后的函数解析式是____________.
参考答案:
略
16. 已知整数满足,则使函数的周期不小于的概率是 .
参考答案:
17. 在中,内角的对边分别是,若,,则
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题13分)在中,角,,对应的边分别是,已知.
(1)求角的大小;
(2)若的面积,求的值.
参考答案:
(1).(2).
(1)由,得 ,
即.解得
因为.所以.
(2)由,得:,
又,所以.由余弦定理得,
所以.
从而由正弦定理得.
19. 如图四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2,点M在线段PD上.
(1)求证:AB⊥PC.
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°,求BM与平面PAC所成的角的正弦值.
参考答案:
【考点】MJ:与二面角有关的立体几何综合题.
【分析】(1)设E为BC的中点,连接AE,证明AB⊥PC,只需证明AB⊥平面PAC,只需证明AB⊥AC,AB⊥PA.
(2)设AC∩BD=O,连接OP,过点M作MN⊥AD,过点N作NG⊥AC于G,连接MG,证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°,M为PD的中点,连接PO交BM于H,连接AH,证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角,即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值.
【解答】(1)证明:设E为BC的中点,连接AE,则AD=EC,AD∥EC,
∴四边形AECD为平行四边形,
∴AE⊥BC
∵AE=BE=EC=2,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴AB⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,
∴AB⊥PA
∵AC∩PA=A,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PC.
(2)设AC∩BD=O,连接OP,过点M作MN⊥AD,过点N作NG⊥AC于G,连接MG,则MN∥PA,
由PA⊥平面ABCD,可得MN⊥平面ABCD,
∴MN⊥AC,
∵NG⊥AC,MN∩NG=N,
∴AC⊥平面MNG,
∴AC⊥MG,
∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°
设MN=x,则NG=AG=x,∴AN=ND=x,
可得M为PD的中点,连接PO交BM于H,连接AH,
由(1)AB⊥平面PAC,∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角
在△ABM中,AB=4,AM=PD=,BM=3,
∴cos∠ABM=,
∵∠BHA与∠ABM互余,
∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为.
20. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个,从中任取只,有放回地抽取次.求:
① 只全是红球的概率;
② 只颜色全相同的概率;
③ 只颜色不全相同的概率.
参考答案:
解析:①每次抽到红球的概率为
②每次抽到红球或黄球
③颜色不全相同是全相同的对立,
21. (12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对满足的任意实数恒成立,求实数的取值范围(这里是自然对数的底数);
(Ⅲ)求证:对任意正数、、、,恒有
.
参考答案:
解析:(Ⅰ)
∴的增区间为,减区间为和.
极大值为,极小值为.…………4′
(Ⅱ)原不等式可化为由(Ⅰ)知,时,的最大值为.
∴的最大值为,由恒成立的意义知道,从而…8′
(Ⅲ)设
则.
∴当时,,故在上是减函数,
又当、、、是正实数时,
∴.
由的单调性有:,
即.…………12′
22. 已知函数f(x)=在x=1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(1)由已知可得f′(1)=0,f(1)=2,从而可求得a,b.
(2)先利用导数求出f(x)的增区间,由条件可知(m,2m+1)为f(x)增区间的子集,从而可求得m所满足的条件.
【解答】解:(1)因为f′(x)=,而函数f(x)=在x=1处取得极值2,所以,即,解得.
故f(x)=即为所求.
(2)由(1)知f′(x)=,令f′(x)>0,得﹣1<x<1,∴f(x)的单调增区间为[﹣1,1].
由已知得,解得﹣1<m≤0.
故当m∈(﹣1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
【点评】本题考查了函数的极值概念、利用导数研究函数的单调性,熟练掌握相关基础知识是解决问题的关键.