湖北省黄冈市刘和中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f(x)的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
参考答案：
C
由图得
再将代入中，得，
则，结合，令可得，
（为常数），
当时，，则：
2. 定义一种运算，若函数，
是方程的解，且，则的值 （ ）
A．恒为正值 B．等于 C．恒为负值 D．不大于
参考答案：
A
3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
C
略
4. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 （ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
答案：A
5. 右边程序运行后，输出的结果为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
6. 党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
参考答案：
D
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．
7. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B． C． D．
参考答案：
C
由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
8. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（ ）
A． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
参考答案：
A
考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项
解答： 解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．
∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，
又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．
且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，
由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大
∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选A．
点评： 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．
9. 已知函数，则方程在下面哪个范围内必有实根（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 已知i是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于
(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限
参考答案：
【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4
D 解析：因为=，所以
此复数在复平面内所对应的点位于第一象限.
【思路点拨】先把复数化为a+bi形式，再由复数的几何意义得结论.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
参考答案：
B
12. 已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p>0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。
参考答案：
（1，0）
13. 若方程组无解，则实数a= ．
参考答案：
±2
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程组无解，
则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，
则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，
即a2=4，a≠3，
解可得a=±2，
故答案为：±2．
14. 以椭圆的右焦点为圆心作一个圆过椭圆的中心O并交椭圆于M、N，若过椭圆左焦点的直线是圆的切线，则椭圆的右准线与圆的位置关系是_______________.
参考答案：
相交
15. 已知函数在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围是 ▲ ．
参考答案：
(－9, －5)
∵，故可将题意等价的转化为，即，解得，故答案为.
16. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是 ；
参考答案：
i>10
17. 给出下列三种说法：
①“若a>b，则”的否命题是假命题；
②命题“若m>0,则有实数根”的逆否命题是真命题；
③“”是“”的充分非必要条件.
其中正确说法的序号是_______
参考答案：
②③
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面 ，底面是直角梯形，，， ，，为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求平面和平面所成角（锐角）的余弦值.
参考答案：
证明：（Ⅰ）连结交于，
因为为四棱柱，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为中点，所以为的中位线，
从而 ……………………………………4分
又因为平面，平面，
所以平面． …………………………5分
（Ⅱ）因为底面，面，面，
所以又，所以两两垂直. ……………6分
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，.
从而，.
因为，所以，解得. ……………………8分
所以，.
设是平面的一个法向量，则即
令，则. …………………………………………………………9分
又，.
设是平面的一个法向量，则即
令，则. ………………………………………………………10分
平面和平面所成角（锐角）的余弦值. ……………………………12分
19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
参考答案：
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （1）由Sn=2an﹣2，知a1=2，由an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，知{an}是等比数列，且首项为2，公比为2．由bn+1=bn+2（n∈N*），知bn+1﹣bn=2，故{bn}是等差数列，且公差为2，由此能求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）由，知，利用错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Tn．
解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵Sn=2an﹣2，∴a1=2，（2分）
∵an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，
∴，（4分）
∴{an}是等比数列，且首项为2，公比为2，∴，
∵bn+1=bn+2（n∈N*），∴bn+1﹣bn=2，（7分）
∴{bn}是等差数列，且公差为2，
∵b1=2，∴bn=2n．（9分）
（2）∵，（10分）
∴，①
，②
①﹣②得，
∴．（14分）
点评： 本题考查数列的能通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和错位相减法的合理运用．
20. 在△ABC中，角的对边分别为，已知，且成等比数列。
（I）求+的值；
（II）若，求的值。
参考答案：
（1）∵成等比数列，∴，由正弦定理得,……3分
∴
．……7分
（2）由得，
∵ , ∴，∴，∴,……………………10分
由余弦定理得,
∴，即,
∴， ∴……………14分
略
21. 选修4——5；不等式选讲
已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
参考答案：
略
22. （本小题满分14分）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、， 证明：直线的斜率为定值．
参考答案：
（1）（法1）设，因为点在圆上，
且点关于圆心的对称点为，
所以， …………1分
且圆的直径为．…………2分
由题意，动圆与轴相切，
所以，两边平方整理得：，
所以曲线的方程． ……………………………………6分
（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，
连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）．
在直角梯形中，，
即动点到定点的距离比到轴的距离1．…………………3分
又动点位于轴的上方（包括轴上），
所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等．
故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．
所以曲线的方程． ……………6分
（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2．
设直线的斜率为（），则直线的斜率为． ………………7分
因为是曲线：上的点，
所以，直线的方程为．
由，解得或，
所以点的坐标为，……………9分
以替换，得点的坐标为． ……………10分
所以直线的斜率为定值．………14分
（法2）因为是曲线：上的点，所以，．
又点、在曲线：上，所以可设，， ……7分
而直线，的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即，……9分
整理得．……10分 所以直线的斜率…11分
…13分 …14分为定值．………14分