2021-2022学年河南省洛阳市某学校数学高职单招试题(含答案)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(10题)
1.己知,则这样的集合P有 ()个数
A.3 B.2 C.4 D.5
2.
A.3 B.8 C.1/2 D.4
3.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-y2/4=1
B.x2/4-y2=1
C.x2-y2/2=1
D.x2/2-y2=1
4.实数4与16的等比中项为
A.-8
B.
C.8
5.已知集合,则等于()
A.
B.
C.
D.
6.已知等差数列中,前15项的和为50,则a8等于()
A.6
B.
C.12
D.
7.
A.(5, 10) B.(-5, -10) C.(10, 5) D.(-10, -5)
8.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()
A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)
9.已知点A(1,-3)B(-1,3),则直线AB的斜率是()
A.
B.-3
C.
D.3
10.函数y=Asin(wx+α)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin(2x-π/6)
B.y=2sin(2x-π/3)
C.y=2sin(x+π/6)
D.y=2sin(x+π/3)
二、填空题(10题)
11.设AB是异面直线a,b的公垂线段,已知AB=2,a与b所成角为30°,在a上取线段AP=4,则点P到直线b的距离为_____.
12.若直线6x-4x+7=0与直线ax+2y-6=0平行,则a的值等于_____.
13.设x>0,则:y=3-2x-1/x的最大值等于______.
14.函数y=x2+5的递减区间是 。
15.设A=(-2,3),b=(-4,2),则|a-b|= 。
16.已知向量a=(1,-1),b(2,x).若A×b=1,则x=______.
17.若长方体的长、宽、高分别为1, 2, 3,则其对角线长为 。
18.
19.展开式中,x4的二项式系数是_____.
20.若ABC的内角A满足sin2A=则sinA+cosA=_____.
三、计算题(5题)
21.有语文书3本,数学书4本,英语书5本,书都各不相同,要把这些书随机排在书架上.
(1) 求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种?
(2) 求英语书不挨着排的概率P。
22.从含有2件次品的7件产品中,任取2件产品,求以下事件的概率.
(1)恰有2件次品的概率P1;
(2)恰有1件次品的概率P2 .
23.有四个数,前三个数成等差数列,公差为10,后三个数成等比数列,公比为3,求这四个数.
24.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0 },且满足.
(1) 求函数f(x)的解析式;
(2) 判断函数f(x)的奇偶性,并简单说明理由.
25.
(1) 求函数f(x)的定义域;
(2) 判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由。
四、证明题(5题)
26.
27.长、宽、高分别为3,4,5的长方体,沿相邻面对角线截取一个三棱锥(如图).
求证:剩下几何体的体积为三棱锥体积的5倍.
28.己知 a = (-1,2),b = (-2,1),证明:cos〈a,b〉=4/5.
29.己知正方体ABCD-A1B1C1D1,证明:直线AC1与直线A1D1所成角的余弦值为.
30.如图所示,四棱锥中P-ABCD,底面ABCD为矩形,点E为PB的中点.
求证:PD//平面ACE.
五、简答题(5题)
31.已知函数,且.
(1)求a的值;
(2)求f(x)函数的定义域及值域.
32.在三棱锥P-ABC中,已知PA丄BC,PA=a,EC=b,PA,BC的公垂线EF=h,求三棱锥的体积
33.己知边长为a的正方形ABCD,PA丄底面ABCD,PA=a,求证,PC丄BD
34.已知等差数列{an},a2=9,a5=21
(1) 求{an}的通项公式;
(2) 令bn=2n求数列{bn}的前n项和Sn.
35.平行四边形ABCD中,CBD沿对角线BD折起到平面CBD丄平面ABD,求证:AB丄DE。
六、综合题(5题)
36.
37.在 △ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 bcosC= (3a-c)cosB.
(1) 求cosB的值;
(2)
38.己知椭圆与抛物线y2=4x有共同的焦点F2,过椭圆的左焦点F1作倾斜角为的直线,与椭圆相交于M、N两点.求:
(1) 直线MN的方程和椭圆的方程;
(2) △OMN的面积.
39.己知点A(0,2),5(-2,-2).
(1) 求过A,B两点的直线l的方程;
(2) 己知点A在椭圆C:上,且(1)中的直线l过椭圆C的左焦点。求椭圆C的标准方程.
40.
(1) 求该直线l的方程;
(2) 求圆心该直线上且与两坐标轴相切的圆的标准方程.
参考答案
1.C
2.A
3.A
双曲线的渐近线方程.由双曲线渐近线方程的求法知,双曲线x2-y2/4=1的渐近线方程为y=±2x
4.B
5.B
由函数的换算性质可知,f-1(x)=-1/x.
6.A
7.B
8.B
平面向量的线性运算.由于a=(1,2),b=(3,1),于是b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1)
9.B
10.A
三角函数图像的性质.由题图可知,T=2[π/3-(-π/6)]=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×π/3+α=π/2,所以α=-π/6所以函数的解析式为y=2sin(2x-π/6)
11.
,以直线b和A作平面,作P在该平面上的垂点D,作DC垂直b于C,则有PD=,BD=4,DC=2,因此PC=,(PC为垂直于b的直线).
12.-3,
13.
基本不等式的应用.
14.(-∞,0]。因为二次函数的对称轴是x=0,开口向上,所以递减区间为(-∞,0]。
15.
。a-b=(2,1),所以|a-b|=
16.1平面向量的线性运算.由题得A×b=1×2+(-1)×x=2-x=1,x=1。
17.
,
18.-5或3
19.7
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.证明:根据该几何体的特征,可知所剩的几何体的体积为长方体的体积减去所截的三棱锥的体积,即
28.
29.
30.
∴PD//平面ACE.
31.(1)
(2)
32.
33.证明:连接AC
PA⊥平面ABCD,PC是斜线,BD⊥AC
PC⊥BD(三垂线定理)
34.(1)∵a5=a2+3d d=4 a2=a1+d
∴an=a1+(n-1) d=5+4n-4=4n+1
(2)
∴数列为首项b1=32,q=16的等比数列
35.
36.
37.
38.
39.解:
(1)直线l过A(0,2),B(-2,-2)两点,根据斜率公式可得
斜率
因此直线l的方程为y-2=2x
即2x-y+2 = 0
⑵由⑴知,直线l的方程为2x-y+2 = 0 ,
因此直线l与x轴的交点为(-1,0).
又直线l过椭圆C的左焦点,故椭圆C的左焦点为(-1,0).
设椭圆C的焦距为2c,则有c =1
因为点A(0,2)在椭圆C:上
所以b=2
根据a2=b2+c2,有a=
故椭圆C的标准方程为
40.解:
(1)斜率k = 5/3,设直线l的方程5x-3y+m=0,
直线l经过点(0,-8/3),所以m = 8,
直线l的方程为5x-3y-8 = 0。
(2)设圆心为C(a,b),圆与两坐标轴相切,故a =±b
又圆心在直线5x-3y-8 = 0上,将a=b或a = -b代入直线方程得:a = 4或a = 1
当a = 4时,b = 4,此时r= 4,圆的方程为(x-4)2 + (y-4)2=16
当a = 1时,b = -1,此时r = 1,圆的方程为(x-1)2 +(y+1)2=1