锐角三角函数练习
一、选择题
1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=3,BC=4,则cosB的值是( )
A. 34 B. 35 C. 45 D. 43
2. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,则∠A的正切值为( )
A. 43 B. 45 C. 54 D. 34
3. 如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB的值为( )
A. 355 B. 175 C. 35 D. 45
4. 如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sinB=0.5,若AC=6,则BC的长为( )
A. 8 B. 12 C. 63 D. 123
5. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列四个选项中,错误的是( )
A. sinα=cosα B. tanC=2 C. sinβ=cosβ D. tanα=1
6. 在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=3,AC=5,那么下列结论正确的是( )
A. sinA=34 B. cosA=45 C. cotA=54 D. tanA=43
7. 在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-1x(x<0),y=4x(x>0)的图象上,则sin∠ABO的值为( )
A. 13 B. 33 C. 54 D. 55
8. 在△ABC中,∠C=90°.若AB=3,BC=1,则sinA的值为( )
A. 13 B. 22 C. 223 D. 3
9. 如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标为M(5,2),那么cosα的值是( )
A. 52 B. 23 C. 255 D. 53
10. 在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2,cosA=34,那么AB的长是( )
A. 52 B. 83 C. 103 D. 237
11. 已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=23,BC=4,则AB长为( )
A. 6 B. 455 C. 83 D. 213
12. 如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则( )
A. c=bsinB B. b=csinB C. a=btanB D. b=ctanB
13. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB=ACAB=( )
A. 35 B. 45 C. 37 D. 34
二、填空题
14. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则cosA的值是____
15. 小颖将手中的一副三角尺按如图所示摆放在一起,连接AD后,则tan∠ADB=_________;
16. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,且tanA=13,则AC=______.
17. 在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=______.
18. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则cosB的值为________.
三、解答题
19. 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,tanA=512,求AC.
20. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,tan∠A=12,求BC的长和sin∠B的值.
21. 如图,在△ABC中,DE //BC,AF⊥BC,∠ADE=30°,BF=23.
(1)求AB的长.
(2)若2DE=BC,求DF的长.
22. 如图,已知CD是△ABC的高,AD=1,BD=4,CD=2.直角∠AEF的顶点E是线段CB上一动点,AE交直线CD于点G,EF所在直线交直线AB于点F.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若G为AE的中点,求tan∠EAF的值;
(3)在点E的运动过程中,若BEBC=13,求EFEG的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:由勾股定理得,AB=AC2+BC2=32+42=5,
∴cosB=BCAB=45,
2.【答案】D
【解析】【试题解析】
解:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35=BCAB,
∴设BC=3x,AB=5x,
由勾股定理得:AC=AB2-BC2=4x,
∴tanA=BCAC=3x4x=34,
即∠A的正切值为34,
3.【答案】D
【解析】解:如图,过点A作AH⊥BC于H.
在Rt△ACH中,∵AH=4,CH=3,
∴AC=AH2+CH2=42+32=5,
∴sin∠ACH=AHAC=45,
4.【答案】C
【解析】【试题解析】
解:在Rt△ACB中,
∵sinB=ACAB=6AB=0.5,
∴AB=12,
∴BC=AB2-AC2=144-36
=63.
5.【答案】C
【解析】解:观察图象可知,△ADB是等腰直角三角形,BD=AD=2,AB=22,AD=2,CD=1,AC=5,
∴sinα=cosα=22,故A正确,
tanC=ADCD=2,故B正确,
tanα=1,故D正确,
∵sinβ=CDAC=55,cosβ=255,
∴sinβ≠cosβ,故C错误.
6.【答案】B
【解答】
解:如图,
∵∠B=90°,BC=3,AC=5,
∴AB=AC2-BC2=52-32=4,
∴cosA=ABAC=45,
故选B.
7.【答案】D
【解答】
解:过点A、B分别作AD⊥x轴,BE⊥x轴,垂足为D、E,
∵点A在反比例函数y=-1x(x<0)上,点B在y=4x(x>0)上,
∴S△AOD=12,S△BOE=2,
又∵∠AOB=90°,
∴∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°,
∴∠AOD=∠OBE,
∵∠ADO=∠BEO=90°,
∴△AOD∽△OBE,
,
∴AOOB=12
设OA=m,则OB=2m,AB=m2+(2m)2=5m,
在Rt△AOB中,sin∠ABO=OAAB=m5m=55
故选:D.
8.【答案】A
【解析】解:∵∠C=90°,AB=3,BC=1,
∴sinA=13,
9.【答案】D
【解析】解:如图,作MH⊥x轴于H.
∵M(5,2),
∴OH=5,MH=2,
∴OM=(5)2+22=3,
∴cosα=OHOM=53,
10.【答案】B
【解答】
解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,
又∵cosA=ACAB=34,
∴AB=83,
故选:B.
11.【答案】A
【解析】解:如图所示:∵sinA=23,BC=4,
∴sinA=BCAB=23=4AB,
解得:AB=6.
12.【答案】B
【解答】
解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,
∴sinB=bc,即b=csinB,故A选项不成立,B选项成立;
tanB=ba,即b=atanB,故C选项不成立,D选项不成立.
故选:B.
13.【答案】A
【解答】
解:在Rt△ABC中,
∵BC=4,AC=3,
∴AB=CB2+AC2=42+32=5,
∴sinA=ACAB=35.
故选A.
14.【答案】513
【解答】
解:在Rt△ABC中,cosA=ACAB=513,
故答案为:513.
15.【答案】3+33
【解答】
解:设CD=BD=1,
则BC=2,AB=22,AC=3BC=6,
如图,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,
则∠DCE=180°-∠ACB-∠BCD=45°,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CE=DE=22,
∴AE=AC+CE=6+22,
在Rt△AED中,AD=AE2+ED2=7+23,
如图,过点B作BF⊥AD,垂足为F,
设DF=x,则AF=7+23-x,
∵AB2-AF2=BF2, BD2-DF2=BF2,
∴AB2-AF2=BD2-DF2,
即(22)2-(7+23-x)2=12-x2,
解得x=37+23,即DF=37+23,
∴BF=1-x2=4+237+23,
在Rt△BDF中,.
故答案为3+33.
16.【答案】6
【解答】
解:∵tanA=13,
∴BCAC=13,即2AC=13,
解得,AC=6,
故答案为:6.
17.【答案】32或255
【解析】解:若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=(2x)2-x2=3x,所以cosC=BCAC=3x2x=32;
若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=(2x)2+x2=5x,所以cosC=ACBC=2x5x=255;
综上所述,cosC的值为32或255.
18.【答案】55
【解答】
解:∵∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB=AC2+BC2=5,
∴cosB=BCAB=15=55.
故答案为55.
19.【答案】解:∵∠C=90°,
∴tanA=BCAC,
∵BC=3,tanA=512,
∴3AC=512,
解得:AC=365.
20.【答案】解:∵tan∠A=BCAC=12,
∴AC=2BC,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(2BC)2+BC2=102,
解得BC=25,
∴AC=2BC=45,
sin∠B=ACAB=4510=255.
21.【答案】解:(1)∵DE//BC,
∴∠B=∠ADE=30°,
∵AF⊥BC,
∴∠AFB=90°,
∴AB=BFcosB=4;
(2)∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ADAB=DEBC=12,
∴点D是AB的中点,
在Rt△AFB中,点D是AB的中点,
∴DF=12AB=2.
22.【答案】解:(1)结论:△ABC是直角三角形.
理由:∵CD⊥AB,
∴∠CDA=∠CDB=90°,
∵AD=1,CD=2,BD=4,
∴CD2=AD⋅BD,
∴CDAD=BDCD,
∴△ADC∽△CDB,
∴∠ACD=∠B,
∵∠B+∠DCB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.
(2)如图1中,作EH⊥AB于H.
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴CD//HE,
∵AG=GE,
∴AD=DH=1,
∵DB=4,
∴BH=DB-DH=3,
∵EH//CD,
∴BHBD=EHCD,
∴34=EH2,
∴EH=32,
∴tan∠EAF=EHAH=322=34.
(3)如图2中,作EH⊥AB于H.
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴EH//CD,
∴EHCD=BHBD=BEBC=13,
∵CD=2,BD=4,
∴EH=23,BH=43,
∴AH=AB-BH=5-43=113,DH=AH-AD=83,
在Rt△AEH中,AE=AH2+EH2=(113)2+(23)2=553,
∵DG//EH,
∴GEAE=DHAH,
∴EG553=83113,
∴EG=40533,
∵AE⊥EF,EH⊥AF,
∴△AEH∽△EFH,
∴AEEF=AHEH,
∴553EF=11323,
∴EF=10533
∴EFEG=1053340533=14.