华东师大版九年级数学单元测试〔3〕：图形的相似
一、选择题〔每题3分；共30分〕
1. 以下说法正确的选项是
A. 任意两个等腰三角形都相似 B. 任意两个菱形都相似
C. 任意两个正五边形都相似 D. 对应角相等的两个多边形相似
2. 如图 ,两条直线被三条平行线所截 ,AB=3 ,DE=4 ,EF=7 ,那么BC的长是
A. B.
C. D.
3. CD是Rt△ABC斜边上的高 ,那么以下各式中不正确的选项是
A. B.
C. D.
4. 如图 ,要测定被池塘隔开的A ,B两点的距离 ,可以在AB外选一点C ,连接AC ,BC ,并分别找出它们的中点D ,E ,连接 DE．现测得AC=30m ,BC=40m ,DE=24m ,那么AB=
A. 50m B. 48m
C. 45m D. 35m
5. 如图 , △ABC ,任取一点O ,连接AO ,BO ,CO ,并分别取它们的中点 D ,E ,F ,得△DEF ,那么以下说法正确的个数是
①△ABC与 △DEF是位似图形；
②△ABC与 △DEF是相似图形；
③△ABC与 △DEF的周长比为1∶2；
④△ABC与 △DEF的面积比为4∶1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图 ,边长为4的等边△ABC中 ,DE为中位线 ,那么四边形BCED的面积为
A. B.
C. D.
7. 如图 ,每个小正方形边长均为1 ,那么以下图中的三角形〔阴影局部〕与左图中△ABC相似的是 ．
A. B.
C. D.
8. 如图 ,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形 ,相似比为1∶2 ,∠OCD=90° ,CO=CD．假设B(1 ,0) ,那么点C的坐标为
A. (1 ,2) B. (1 ,1)
C. (,) D. (2 ,1)
9. 以下图是某中学的平面示意图 ,每个正方形格子的边长为1 ,如果校门所在位置的坐标为 (2 ,4) ,小明所在位置的坐标为(－1 ,－6) ,那么坐标(3 ,－2)在示意图中表示的是
A. 图书馆 B. 教学楼 C. 实验楼 D. 食堂
10. 如图 ,在平面直角坐标中 ,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形 ,且相似比为 ,点A ,B ,E 在x轴上 ,假设正方形BEFG的边长为6 ,那么C点坐标为
A. (3 ,2) B. (3 ,1) C. (2 ,2) D. (4 ,2)
二、填空题〔每题3分；共15分〕
11. 在1∶500000的地图上 ,量得甲、乙两城市之间的直线距离为15cm ,那么这两个城市之间的实际距离是 km．
12. 如图 ,练习本中的横线都平行 ,且相邻两条横格线间的距离都相等 ,同一条直线上的三个点A ,B ,C都在横格线上．假设线段AB=4cm ,那么线段BC= cm．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13. 如图 ,在△ABC中 ,DE∥BC ,AD∶DB=1∶2 ,DE=2 ,那么BC的长是 ．
14. 在矩形纸片ABCD中 ,AB=4 ,BC=10 ,E是AD边的中点 ,把矩形纸片沿过点E的直线折叠 ,使点A落在BC边上 ,那么折痕EF的长为 ．
15. 如图 ,双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A ,且满足 ,与BC交于点D ,S△BOD=21 ,求k= ．
三、解答题〔8+9+9+9+9+10+10+11=75分〕
16. 如图 ,在△ABC中 ,DE∥BC ,AD=4 ,DB=8 ,DE=3．求：BC的长.
17. 如图 ,AD是△ABC的中线 ,E为AD的中点 ,连接BE并延长 ,交AC于点F ,AF=．求证：．
18. 如图 ,在13×13的网格图中 ,△ABC的顶点坐标分别为A(2 ,4) ,B(3 ,2) ,C(6 ,3)．
〔1〕以点M(1 ,2)为位似中心 ,在第一象限把 △ABC按相似比2∶1放大 ,得△ABC ,画出△ABC的位似图形；
〔2〕写出△A′B′C′的各顶点坐标．
19. 在一次数学活动课上 ,为了测量河宽AB ,小聪采用了如下方法：如图 ,从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处 ,插一根标杆 ,然后沿同方向继续走15m到达D处 ,再右转90°走到E处 ,使点B ,C ,E恰好在一条直线上 ,量的DE=20m ,这样就可以求出河宽AB．请说明理由 ,并计算出结果．
20. 如图 ,E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点 ,连接EC ,交AD于F．
〔1〕写出图中的三对相似三角形〔注意：不添加辅助线〕；
〔2〕请在你所找出的相似三角形中选一对 ,说明相似的理由．
21. 如图 ,矩形OABC的顶点A ,C分别在x轴和y轴上 ,点B的坐标为(2,3) ,双曲线(x＞0〕的图象经过BC上的点D且与AB交于点E ,连接DE ,假设E是AB的中点．
〔1〕求D点的坐标；
〔2〕点F是OC边上一点 ,假设△FBC和△DEB相似 ,求BF 的解析式．
22. 对于两个相似三角形 ,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同 ,那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反 ,那么称这两个三角形互为逆相似．例如 ,如图① ,△ABC∽△A′B′C′ ,且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同 ,因此△ACB和A′B′C′互为顺相似；如图② ,△ABC∽△ABC ,且沿周界 ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反 ,因此△ACB和△ABC互为逆相似．
〔1〕根据图Ⅰ ,图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得以下三对相似三角形：
①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中 ,互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 ．〔填写所有符合要求的序号〕．
〔2〕如图③ ,在锐角△ABC中 ,∠A＜∠B＜∠C ,点P在△ABC的边上AC上〔不与点A ,C重合〕．过点P画直线截△ABC ,使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请探索过点P的截线的情形 ,画出图形并说明截线满足的条件 ,不必说明理由．
23. 如图 ,在平面直角坐标中 ,四边形OABC的边OC ,OA 分别在x轴 ,y轴上 ,AB∥OC ,∠AOC=90° ,∠BCO=45° ,BC=12 ,点C的坐标为(－18,0)．
〔1〕求点B的坐标；
〔2〕 假设直线DE交BO于点D ,交y轴于点E ,且ODE=4 ,OD=2BD ,求直线 DE的表达式．
华东师大版九年级数学单元测试〔3〕：图形的相似 参考答案
一、选择题。
1. C 2. A 3. D 4. B 5. C
6. B 7. B 8. B 9. A 10. A
【解析】因为正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形 ,且相似比为 13 ,
所以 ADBG=13 ,
因为 BG=6 ,
所以 AD=BC=2 ,
因为 AD∥BG ,
所以△OAD∽△OBG ,
所以 OAOB=13 ,
所以 OA2+OA=13 ,
解得：OA=1 ,
所以 OB=3 ,
所以 C 点坐标为：3,2．
二、填空题。
11. 75
【解析】设实际距离为 xcm ,
那么 1:500000=15:x ,
∴ x=7500000 ,
7500000cm=75km．
12. 12
13. 6
【解析】∵DE∥BC ,
∴△ADE∽△ABC ,
∴ADAB=DEBC．
∵AD:DB=1:2 ,
∴ADAB=2BC=13 ,
∴BC=6．
14. 552
15. 8
【解析】过 A 作 AE⊥x 轴于点 E．
S△OAE=S△OCD ,
△OAE∽△OBC ,
S△OAE:S△OBD+S△OCD=AOOB2=425．
三、解答题。
16. 因为 AD=4 ,BD=8 ,
所以 AB=AD+BD=4+8=12．
因为 DE∥BC ,
所以 △ADE∼△ABC．
所以 DEBC=ADAB．
因为 AB=12 ,DE=3 ,AD=4 ,
所以 BC=AB⋅DEAD=12×34=9．
17. 取 CF 的中点 G ,连接 DG．
∵D 为 BC 的中点 ,
∴DG=12BF．
又 ∵E 为 AD 的中点 ,AF=13AC ,
∴EF 为 △ADG 的中位线．
∴EF=12DG．
∴EF=14BF．
18. 〔1〕 如下图 ,
〔2〕A′〔3,6〕 ,B′〔3,2〕 ,C′〔10,4〕．
19. 由题意知 ,
AC=45 ,CD=15 ,DE=20 ,
∠BAC=∠EDC=90∘ ,
又 ∠ACB=∠DCE ,
∴ △ACB∽△DCE ,
∴ ACAB=CDDE．
∴ 45AB=1520．
∴ AB=60．
20. 〔1〕△EFG∽△EBC ,△CDF∽△EBC ,△CDF∽△EFG．
〔2〕 选 △EAF∽△EBC ,
理由如下：在ABCD中AD∥BC ,
所以 ∠EAF=∠B．
又因为 ∠E=∠E ,
所以 △EAF∽△EBC．
21. 〔1〕 ∵ 四边形 OABC 是矩形 ,
∴OA=BC ,AB=OC ,
∵B2,3 ,E 为 AB 的中点 ,
∴AB=OC=3 ,OA=BC=2 ,AE=BE=12AB=32 ,
∴E2,32 ,
∴k=2×32=3 ,
∴ 双曲线解析式为：y=3x；
∵ 点 D 在双曲线 y=3xx>0 上 ,
∴OC⋅CD=3 ,
∴CD=1 ,
∴ 点 D 的坐标为：1,3；
〔2〕 ∵BC=2 ,CD=1 ,
∴BD=1 ,
分两种情况：
① △FBC 和 △EDB 相似 ,当 BC 和 BD 是对应边时 ,BCBD=CFBE ,即 12=32CF ,
∴CF=3 ,
∴F0,0 ,
即 F 与 O 重合 ,
设直线 BF 的解析式为：y=kx ,
把点 B2,3 代入得：k=32 ,
∴ 直线 BF 的解析式为：y=32x；
② △FBC 和 △DEB 相似 ,当 CF 与 BD 是对应边时 ,CFBD=BCBE ,即 CF1=232 ,
∴CF=43 ,
∴OF=3−43=53 ,
∴F0,53 ,
设直线 BF 的解析式为：y=ax+c ,
把 B2,3 ,F0,53 代入得：2a+c=3,c=53,
解得：a=23 ,c=53 ,
∴ 直线 BF 的解析式为：y=23x+53；
综上所述：假设 △FBC 和 △DEB 相似 ,BF 的解析式为：y=32x 或 y=23x+53．
22. 〔1〕 ①②；③
【解析】互为顺相似的是①②；互为逆相似的是③；
〔2〕 根据点 P 在 △ABC 边AC上的位置作图如下：
如图② ,点 P 在 AC〔不含点 A ,C〕上 ,