等差数列及其前n项和 一、知识梳理 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 小结： 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　) 解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A.31 B.32 C.33 D.34 解析　由已知可得 解得∴S8＝8a1＋d＝32. 答案　B 3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案　180 4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A.－12 B.－10 C.10 D.12 解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 答案　B 5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　) A.－3 B.－ C.－2 D.－4 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为所以 解得d＝－4. 答案　D 6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______. 解析　在等差数列{an}中， ∵a3＋a8>0，S9<0， ∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0， ∴a5<0，a6>0， ∴S1，S2，…，S9中最小的是S5. 答案　S5 考点一　等差数列基本量的运算 【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　) A.9 B.10 C.11 D.15 解析　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d， 依题意得所以d＝4. 法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5， 又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，则d＝4. (2)设等差数列{an}的公差为d，依题意得 解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10. 答案　(1)C　(2)B 【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于(　　) A.3 B.4 C.log318 D.log324 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________. 解析　(1)∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列， ∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)， ∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，则2x(4x＋2)＝9x2， 解之得x＝4，x＝0(舍去). ∴等差数列的前三项为log38，log312，log318， ∴公差d＝log312－log38＝log3， ∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3. (2)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S3＝6，S4＝12，可得解得 所以S6＝6a1＋15d＝30. 法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn， 由S3＝6，S4＝12可得 解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30. 答案　(1)A　(2)30 考点二　等差数列的判定与证明　 【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 当n＝1时，a1＝不适合上式. 故an＝ 【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列. 解　(1)设{an}的公比为q，由题设可得 解得 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n. ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列. 考点三　等差数列的性质及应用 角度1　等差数列项的性质 【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 解析　∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120， 由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48. 答案　D 角度2　等差数列和的性质 【例3－2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 解析　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列， 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45， 所以a7＋a8＋a9＝45. 答案　B 规律方法　1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. 【训练3】 (1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 015，－＝6，则S2 019＝________. (2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　) A.15 B.30 C.31 D.64 (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　) A. B. C. D. 解析　(1)由等差数列的性质可得也为等差数列. 设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 018d＝－2 015＋2 018＝3， ∴S2 019＝3×2 019＝6 057. (2)由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质， ∴3a4＝3，则a4＝1. 又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8. ∴a12＝16－1＝15. (3)＝＝＝＝ ＝＝. 答案　(1)6 057　(2)A　(3)A 考点四　等差数列的前n项和及其最值 【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大？ 解　(1)令n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0， 因为a1≠0，所以a1＝， 当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1， 两式相减得2an－2an－1＝an(n≥2). 所以an＝2an－1(n≥2)， 从而数列{an}为等比数列，an＝a1·2n－1＝. (2)当a1>0，λ＝100时，由(1)知，an＝， 则bn＝lg ＝lg ＝lg 100－lg 2n＝2－nlg 2， 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b1>b2>…>b6＝lg ＝lg >lg 1＝0， 当n≥7时，bn≤b7＝lg 0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值). 【训练4】 (1)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为(　　) A.3 B.3或4 C.4或5 D.5 (2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________. 解析　(1)由题意知 由d≠0，解得a1＝－3，d＝2， ∴＝＝－3＋n－1＝n－4， 则n－4≥0，得n≥4， ∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4. (2)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2， Sn＝na1＋d＝20n－×2 ＝－n2＋21n＝－