22 弯桥计算理论弯桥特征弯桥特征平面弯梁的符拉索夫方程及其解法平面弯梁的符拉索夫方程及其解法纯扭转时简支曲梁分析纯扭转时简支曲梁分析曲梁分析的能量原理曲梁分析的能量原理非径向支承弯梁计算非径向支承弯梁计算小结小结本章参考文献本章参考文献弯桥特征1)力学特点 （1）弯、扭耦合作用 取如下图所示的坐标系，据文献1推导，等曲率平面弯梁的基本微分方程（符拉索夫方程）为上式的第一式与二、三式相对独立，它表示弯梁平面内变形与垂直于水平面的变形相对独立，前者相当于拱承受竖向荷载作用，后者则反应了弯梁在竖向荷载作用下的特点弯梁及其坐标系 从第二、三式可以看出，必须联立求解才能得到竖向变位 和扭角 ，这就是弯、扭耦合作用，即当外荷载作用时，截面内产生弯矩（扭矩）的同时，必然地伴随着产生耦合扭矩（弯矩），其变形亦如此，且无论是恒载还是工作荷载作用（2）受力不均匀现象 由于扭矩的存在，弯桥外边缘弯曲应力大于内边缘，外边缘挠度大于内边缘，即使等截面主梁承受均匀荷载，此现象依然存在，应引起设计重视。（3）圆心角与弯扭刚度比 对内力的影响。分析两边抗扭支承的单根曲梁，可得跨中截面的挠度影响线为式中：进一步对扭转有关的系数 分析表明，当圆心角 时，极小，即可足够精确地用跨径 的直梁来计算的纵向弯矩。.莱昂哈特将此范围扩大止 分析还发现，值增加时，由曲率因素导致的扭转变形显著增大，即采用抗弯刚度EI较小，抗扭刚度 较大的箱形截面或低高度梁应为首选2）荷载特点除一般直桥的荷载特点处，主要表现在：（1）离心力是弯桥特有的与桥轴线垂直的水平荷载。在曲率半径较小时（250m），应计及其作用 （2）弯桥冲击力的研究还不够深入，目前多以与桥轴弧线长相同的直桥计算，且对弯曲冲击和扭转的冲击不作区分，略显粗糙。3)支承布置特点 支座布置如下图所示，a）为单跨静定曲梁中心布置，b）为单跨静定曲梁偏心布置；c）为单跨超静定曲梁中心布置，d）为单跨超静定曲梁偏心布置。对于两端设抗扭支承的超静定曲梁，支承的偏心只能改变支承处各个支座上的反力分布而绝不能改变梁的扭矩分布。如果一侧支承斜向变化时，该支点截面随斜角的增大而增加负弯矩。而斜角需到某一个负角内，该截面都有正弯矩产生。此负角度将随弯扭刚度比值的增大而增大。这里规定当曲梁半径顺时针转动与斜支承线重合时，所得到的锐角为正角，反之则为负角，如图b）所示。另外，对一般公路桥，支座偏心距 小于2m时，偏心距对预加应力和活载所引起的扭矩影响不大。a）为单跨静定曲梁中心布置b）为单跨静定曲梁偏心布置c）为单跨超静定曲梁中心布置d）为单跨超静定曲梁偏心布置a）两端点均设抗扭支座，中间跨设铰支座b）当跨数较多，两端点设抗扭支座，中间也设置一定数量的抗扭支座，其余均为中心铰支座c）为减小扭矩，两端设置抗扭支座，中间跨设置向外侧有偏心的铰支座d）为增大全桥抗侧倾稳定性，两端设置抗扭支承，中间交替布置偏心铰支承（2）多跨弯桥支座布置 中间设置偏心铰支承的连续曲梁，不仅在造型上比较美观，而且受力性能也比全抗扭支承或中间为中心铰支座具有更大的优越性。中间铰支点在外侧方向预设一定的偏心值，可以调整梁内的扭矩分布，有利于关心曲梁的扭矩 事实上，偏心点铰支承连续曲梁的内力，可以看成是由中心支承时连续曲梁的内力和中心支承连续梁上作用的偏心支承中扭矩的内力两部分组成。支承偏心只能调整曲梁的扭矩，但绝对不能消除扭矩。平面弯梁的符拉索夫方程及其解法1）符拉索夫方程的推导 在如后图所示的三维流动直角坐标系中，取一微段 其上作用的六种荷载及六种截面内力亦示于图a）中，正号内力示于图b）中。（1）静力平衡方程利用六个空间平衡条件：微段弯梁的截面内力可以导得弯梁的六个静力平衡方程2、3为消去剪力项 和轴向力 后，可得（2）几何方程铁 木 辛 柯（S.Timoshenko）导出的几何方程为4（3）符拉索夫方程弹性体材料本构关系符合虎克定律，则有经整理有平面曲梁的符拉索夫方程。由于平面弯梁的平面内变形与垂直水平面的变形相对独立，若仅考查所关心的后者，则略去 ，并不计截面翘曲作用，以 代入则有注意到坐标轴方向不用，则上式在文献5中已给出2)简支超静定弯梁的汉斯（Heins）一斯贝特思（Spates）解 利用数学手段将符拉索夫方程式的后两式中的位移 量 消去，可得 若Heins等求得的闭合解为：相应的 为 常数AH可由简支超静定弯梁两端的各四个边界条件1，联立以上两式求得。另外：集中荷载作用时，不难补充集中载分界面上的内力及位移连续条件进行求解。对于连续弯梁，一种方法是将其从支点处切开，分解为多个简支曲梁，利用中支点的连续条件及边界条件进行求解；另一种方法是将中支点多余约束解除，代之赘余力，先利用上述方法求解两桥台支承的简支曲梁，再利用变形连续条件列出赘余力方法联合求解纯扭转时简支曲梁分析 对于截面剪切中心轴线与截面形心轴线相重合的，两端均设抗扭支承的一次超静定简支曲梁，在平截面及刚性截面假定成立情况下，可按结构力学方法推导其内力及变形的表达式。如下图a）所示的简支超静定曲梁，取其基本结构如图b）所示。1）静定简支曲梁的内力如图c)所示，有简支超静定曲梁简支超静定曲梁基本结构c)仅考查在P作用下，静定简支曲梁时有整理得 同理可分别求得在m，T等作用下的支反力。并由静力平衡条件可求得任意截面的内力（1）集中荷载P与集中扭矩T作用（2）均布荷载 与分布扭矩 作用（3）作用2）超静定简支曲梁内力根据B端的变形协调条件有式中：单位扭矩 作用下静定简支曲梁在 端的扭角 外载（P、T、q、m等）作用下静定简支曲梁在 端的扭角 仅考查集中荷载P的作用，并不计剪力和轴力对位移的贡献，则同理可求得 等作用下的赘余力和截面内力（1）集中荷载P与集中扭矩T作用（2）均布荷载 与分布扭矩 作用其支反力为 作用下跨中截面的挠度 作用在跨中时跨中截面的挠度其它荷载情况同理可求曲梁分析的能量原理1）中支承为点铰支承的变截面连续弯梁对于如下图a）所示的两端为抗扭支承、中间均为点铰支承的 跨连续弯梁，取图b）所示一次超静定简支弯梁为基本结构，则满足边梁条件的弯梁挠度 和扭角 可分别假设为中间为点铰支承的连续弯梁不计剪力和轴力的影响时，基本结构的形变内能和荷载势能可分别表示为不考虑截面翘曲时，弯梁任一截面的弯矩和扭矩记总势能根据变分原理有经整理后得6式中：在中支承 处，竖向挠度和扭角分别为当支承 处有一向上的单位支承反力 作用在基本结构上时，同理可得相应的挠曲线方程和扭角方程为式中：则该支承处的位移可表示为式中：支承 处作用单位支反力 时，支承 处的竖向位移由力法原理，可得典型方程 求解可得 ，则连续弯梁的总挠度和总扭角 分别为式中：连续弯梁的弯矩和扭矩表达式为剪力为 2)其它情况解法要点 （1）中间点铰支承的等截面连续弯梁 这时只要将 及 代入以上各式，可得系数 、和 分别为内力分别为任意截面的挠度、扭角及内力影响线可分别令或 ，其它外载为零而获得（2）中支承全部为抗扭支承的连续弯梁如下图a）所示，取图b)为基本结构，仿照上节的求解过程，可得单位扭矩 作用在基本结构上时，挠曲线和扭角方程分别为中支承均为抗扭支承的连续弯梁式中：力法典型方程同上这时 中支承既有抗扭支承又有点铰支承时，不难按照上述思路进行分析非径向支承弯梁计算对于非径向支承连续弯梁，Funkhouser和C.P.Heins2针对美国荷载标准，研究提出其内力设计值为式中：非径向支承弯梁桥的某项最大设计值 径向支承弯梁桥的某项最大设计值 由 、支承斜交角 所确定的设计值增减比值 此方法虽还不能在我国的具体工程中应用，但其思路却十分可取1)非径向支承简支静定弯梁（1）按静力平衡条件计算竖向均布荷载 作用如后图a)所示，设 为均布载重心 ，则按图b）有 均布载作用下的非径向支承静定简支曲梁 由静力平衡条件有解得 任意截面 的内力，可取下图所示的计算图式，则有任意截面的内力计算 由静力平衡条件有解得（2）其它荷载形式作用按以上方法，直接给出下图所示的各种荷载形式下支反力和内力表达式非径向支承简支静定曲梁作用不同荷载形式 均布扭矩 作用竖向集中荷载 作用集中扭矩T作用2）非径向支承简支超静定弯梁 如后图a所示，将B支承的抗扭约束解除，不难利用B端扭角（沿非径向支承的扭角）为零的变形协调条件求得未知反力 。然后利用叠加原理计算任意截面的内力（1）B端作用单位扭矩 =1时的基本结构内力根据图b)，由静力平衡条件有 非径向支承简支超静定弯梁计算图式解得：任意截面 的内力为（2）简支超静定弯梁的荷载内力以集中荷载 作用在截面 为例，由 端的变形协调条件有仿照径向支承，对等截面弯梁有 则曲梁内力为 反力为式中：、静定基本结构在集中荷载作下的内力同理可求其它荷载形式作用下的非径向支承简支超静定曲梁及连续曲梁。可参阅文献8小结 在横向分布系数求出以后，弯桥的恒、活载内力及变形计算方法就同单根弯梁一样。基于纯扭转理论的分析方法目前应用较为广泛，很多情况下其精度能满足工程应用，除上述结构力学方法；能量原理外，还有传递矩阵法、力矩分析法、三力矩方程法等均属此范畴。考虑翘曲扭转的弯梁分析理论虽然精确，但寻求其解难度大，往往需借助数值计算（如差分法、有限元法得）来求解。另外，众多学者提出了各种计算方法，如高岛春生、C.P汉斯的梁格理论；Goldberg和love的折板理论；田村周平的多角形理论等，有兴趣的读者可参阅有关专著本章参考文献1姚玲森.曲线梁.北京：人民交通出版社，1989.2C.P Heins著.结构杆件的弯曲与扭转，常岭等译校.北京：人民交通出版社，1981.3邵容光、夏淦.混凝土弯梁桥.北京：人民交通出版社，1994.4S.Timoshenko.Strength of materials.New York:D.Van Nostrand Company,1930.5项海帆.高等桥梁结构理论.北京：人民交通出版社，2001.6张翔、贺拴海.分析连续梁系统的一种新方法.华东公路.No.1,1989.7贺拴海等.现代桥梁结构分析.西安：陕西人民教育出版社，1994.8郑振飞等.非径向支承弯梁的计算方法.北京：人民交通出版社，2000.9黄剑源等.城市高架桥的结构理论与计算方法.北京：科学出版社，2001.10贺拴海.弹性曲板的有限条一传递矩阵法分析及其在弯桥中的应用.西安公路学院学报，Vol.9,No.1,1989.