2021-2022学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列选项中的两个图形一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正方形
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，那么cotB等于( )
A. 513 B. 1213 C. 125 D. 512
3. 已知a=7b，下列说法中不正确的是( )
A. a−7b=0 B. a与b方向相同 C. a//b D. |a|=7|b|
4. 下列函数中，属于二次函数的是( )
A. y=x2+x B. y=(x−l)2−x2
C. y=5x2 D. y=2x2
5. 在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE//AC，DF//AB，AE：EB=3：2，那么AF：FC的值是( )
A. 32 B. 23 C. 25 D. 35
6. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为( )
A. 45米 B. 10米 C. 46米 D. 12米
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 如果mn=56，那么m−nn=______．
8. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2，则AP=______．
9. 如果向量a、b、x满足12(x+a)=a−32b，那么x=______(用向量a、b表示)．
10. 二次函数y=(m−1)x2+x+m2−1的图象经过原点，则m的值为______．
11. 如果抛物线y=(2−a)x2+2开口向下，那么a的取值范围是______．
12. 如果抛物线过点(−2,3)，且与y轴的交点是(0,3)，那么抛物线的对称轴是直线______．
13. 已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)为函数y=−2(x−1)2+3的图象上的两点，若x1
”、“=”或“<”)，
14. 如果一个斜坡的坡度i=1：33，那么该斜坡的坡角为______度．
15. 已知Rt△ABC的两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为______．
16. 如图，过△ABC的重心G作上ED//AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分∠BAC，AB=6，那么EC=______．
17. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”.如图，在4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是______．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=15，sin∠A=45.点D、E分别在AB和AC边上，AD=2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE=______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：2sin60°+3tan30°cot30∘−cot45∘．
20. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
−5
…
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移m(m>0)个单位，使得新抛物线经过原点O，求m的值以及新抛物线的表达式．
21. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE=BC，联结AE交DC于点F，设AB=a，AD=b．
(1)用向量a、b表示DE；
(2)求作：向量AF分别在a、b方向上的分向量．(不要求写作法，但要写明结论)
22. (本小题10.0分)
图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC=130°，∠BCD=70°时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离(结果精确到1mm)．
(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41，3≈1.73)．
23. (本小题12.0分)
如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，BC=2AD，对角线AC与BD交于点E.点F是线段EC上一点，且∠BDF=∠BAC．
(1)求证：EB2=EF⋅EC；
(2)如果BC=6，sin∠BAC=23，求FC的长．
24. (本小题12.0分)
已知开口向上的抛物线y=ax2−4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．
(1)求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
(2)当∠ABC=90°时，求抛物线y=ax2−4ax+3的表达式；
(3)当∠ABC=2∠BCD时，求OD的长．
25. (本小题14.0分)
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanB=34，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE=∠ABC.过点A作AF⊥DE于点F．
(1)当点E在线段AB上时，求证：AFAC=DEBD；
(2)在(1)题的条件下，设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、对应边的比相等，故一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
2.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，BC=12，AC=5，
∴cotB=BCAC=125．
故选：C．
直接利用余切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a=7b，
∴a−7b=0；a与b方向相同；a//b；|a|=7|b|，
故A不正确；B、C、D正确，
故选：A．
根据平面向量的定理逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.y=x2+x是二次根式形式，不是二次函数，故不符合题意；
B.y=(x−l)2−x2=x2−2x+1−x2=−2x+1，是一次函数，故不符合题意；
C.y=5x2，是二次函数，故符合题意；
D.y=1x2=x−2，不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
本题考查二次函数的定义，牢固掌握二次函数的定义和一般形式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图：
∵DE//AC，AE：EB=3：2，
∴AEEB=CDBD=32，
∴BDCD=23，
∵DF//AB，
∴AFCF=BDCD=23，
故选：B．
根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为−4，
∵水面AB宽为20米，
∴A(−10,−4)，B(10,−4)，
将A代入y=ax2，
−4=100a，
∴a=−125，
∴y=−125x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为−1，
∴−1=−125x2，
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A(−10,−4)，B(10,−4)，即可求函数解析式为y=−125x2，再将y=−1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
7.【答案】−16
【解析】解：设m=5k，n=6k，
∴m−nn=5k−6k6k=−16，
故答案为：−16．
根据比例的性质设m=5k，n=6k，再代入计算求解即可．
本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
8.【答案】5−1
【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=2×5−12=5−1．
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=5−12AB，代入数据即可得出AP的长．
理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−52，较长的线段=原线段的5−12．
9.【答案】a−3b
【解析】解：∵12(x+a)=a−32b，
∴x+a=2a−3b，
∴x=a−3b，
故答案为：a−3b．
根据平面向量的加减运算法则计算即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
10.【答案】−1
【解析】解：∵点(0,0)在抛物线y=(m−1)x2+x+m2−1上，
∴m2−1=0，
解得m1=1或m2=−1，
∵m=1不合题意，
∴m=1
故答案为：−1．
将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求m即可．
此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．
11.【答案】a>2
【解析】解：∵抛物线y=(2−a)x2+2开口向下，
∴2−a<0，即a>2，
故答案为：a>2．
根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2−a<0．
本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来说，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向上；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向下．
12.【答案】x=−1
【解析】解：∵当x=−2和x=0时，y的值都是3，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−2+02=−1，
故答案为：x=−1．
根据点(−2,3)和(0,3)即可确定抛物线的对称轴．
本题主要考查二次函数的图象的性质，关键是要观察出点(−2,3)和(0,3)是关于对称轴对称的点．
13.【答案】<
【解析】解：∵y=−2(x−1)2+3，
∴抛物线y=−2(x−1)2+3的开口向下，对称轴为x=1，
∴在x<1时，y随x的增大而增大，
∵x1
点击显示更多内容>>
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号