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八年八年级级上学上学期期期末抽期末抽测测数学数学试试卷卷 一、一、单选题单选题 1.中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是( A.诚B.信C.友 2.已知△ABC 中,∠A=20°,∠B=70°,那么△ABC 是() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 3.已知△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠E=50°,则∠F 的度数为() A.30°B.50°C.80° 4.已知三角形两边长分别为 7、11,那么第三边的长可以是() A.2B.3C.4 5.下列计算正确的是() A.B. C.D. 6.若分式有意义,则 x 的取值范围是() A.x=2B.x>2C.x<2 7.若表示一个完全平方式,则 k 的值为() A.B.4C. ) D.善 D.正三角形 D.100° D.5 D.x≠2 D.8 8.如图,等腰三角形 ABC 的周长为 21,底边 BC=5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,则 △BEC 的周长为() 16.如图,∠DAE=∠ADE=15°,AD 平分∠BAC,DF⊥AB,若 AE=8,则 DF= . A.13B.14C.15D.16 9.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E,过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M,交 AC 于 N,若 BM+CN=9,则线段 MN 的长为() A.6B.7C.8D.9 10.如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N,且 A、C、B 在同一直 线上,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④PC 平分∠APB;⑤∠APD=60°,其 中正确结论有() A.①②③④⑤ 二、填空二、填空题题 11.分解因式: B.①②④⑤C.①②③⑤D.①②⑤ . 12.计算: 13.某种病菌的形状为球形,直径约是,用科学记数法表示这个数为 . 14.如果多边形的每个内角都等于,则它的边数为. 15.如图,将一副直角三角板,按如图所示的方式摆放,则∠α 的度数是 . 17.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD 是∠BAC 的平分线.若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC+PQ 的最小值是 . 三、解答三、解答题题 18.计算:+|﹣4|+(﹣1)0﹣()﹣1. 19.先化简,再求值:,其中. 20.如图,中,EF 垂直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E, ,连接 AE. ,垂足为 D,且 1求证:; 2若的周长为 14cm,,则 DC 的长为cm. 21.如图,已知 CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点 D,E,且 AB=AC,BE 交 CD 于点 O . 1求证:DB=EC. 2求证:AO 平分∠BAC. 22.如图,在边长为 1 的正方形网格中有一个 ABC,完成下列各图(用无刻度的直尺画图,保留作图痕 迹) . ( 1 )作 ABC 关于直线 MN 对称的 A1B1C1; ( 2 )求 ABC 的面积; ( 3 )在直线 MN 上找一点 P,使得 PA+PB 最小. 23.某文化用品商店用 1000 元购进了一批圆规,很快销售一空;商店又用 1000 元购进了第二批该种圆规,但 进价比原来上涨了,结果第二次所购进圆规的数量比第一次少 40 件. (1)求两批圆规购进的进价分别是多少; (2)若商店将第一批圆规以每件 7 元,第二批圆规以每件 8 元的价格全部售出,则共可盈利多少元? 24.配方法是数学中非常重要的一种思想方法,它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完 全平方式或几个完全平方式的和的方法. 定义:若一个整数能表示成(a,b 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如,5 是“完美数”.理由:因为,所以 5 是“完美数”. 1解决问题: 已知 29 是“完美数”,请将它写成(a,b 是整数)的形式:; 2若可配成(m,n 为常数) , 则 mn 的值为; 3探究问题: 已知,求的值. 25.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=100°,点 D 在 BC 边上,△ABD 和△AFD 关于直线 AD 对称,∠FAC 的 平分线交 BC 于点 G,连接 FG. 1求∠DFG 的度数; 2设∠BAD=θ, ①当 θ 为何值时,△DFG 为等腰三角形; ②△DFG 有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的 θ 值;若没有,请说明理由. 答案解析部答案解析部分分 1. 【答案】D 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解:诚、信、友都没有这样的一条直线,善字上面部分的“竖”所在的直线就是它的对称轴, 即善是轴对称图形, 故答案为:D. 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。 2. 【答案】A 【知识点】直角三角形的性质 【解析】【解答】解:∵△ABC 中,∠A=20°,∠B=70°, ∴∠C=180°-20°-70°=90°, ∴△ABC 是直角三角形. 故答案为:A. 【分析】根据三角形的内角和定理可知,第三个角的度数为 90°,即可判断三角形为直角三角形。 3. 【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【解答】解:∵△ABC≌△DEF, ∴∠D=∠A=80 ° ∴∠F=180﹣∠D﹣∠E=50 ° 故选 B. 【分析】要求∠F 的大小,利用△ABC≌△DEF,得到对应角相等,然后在△DEF 中依据三角形内角和定理,求 出∠F 的大小. 4 . 【答案】D 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】设第三边长为 x,由题意得: 11﹣7<x<11+7, 解得:4<x<18, 故答案为:D. 【分析】设第三边长为 x,根据三角形三边之间的关系第三边大于两边之差,小于两边之和得出不等式组求解 得出 x 的取值范围,从而就可以做出判断。 5. 【答案】C 【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方;幂的乘方 【解析】【解答】解:A、a 与不是同类项,不可合并,不符合题意; B、,不符合题意; C、,符合题意; D、,不符合题意; 故答案为:C. 【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项逐项判断即可。 6. 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【解析】【解答】解:∵分式有意义, ∴x-2≠0 , 解得 x≠2. 故答案为:D. 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式 x-2≠0 求解即可。 7. 【答案】B 【知识点】完全平方式 【解析】【解答】解:∵a2+4a+k 是一个完全平方式, ∴a2+4a+k=a2+2•a•2+22, ∴k=22=4, 故答案为:B. 【分析】根据完全平方式的特征可得 k=22=4。 8. 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质 【解析】【解答】∵△ABC 为等腰三角形, ∴AB=AC, ∵BC=5, ∴2AB=2AC=21-5=16,即 AB=AC=8, 而 DE 是线段 AB 的垂直平分线, ∴BE=AE,故 BE+EC=AE+EC=AC=8, ∴△BEC 的周长=BC+BE+EC=5+8=13, 故答案为:A。 【分析】根据题干信息可知,本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,根据线段垂直平分线的 性质与等腰三角形的性质,通过线段间的等量代换即可求解。 9 . 【答案】D 【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解:∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 E, ∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB, ∵MN∥BC, ∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB, ∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN, ∴BM=ME,EN=CN, ∴MN=ME+EN, 即 MN=BM+CN. ∵BM+CN=9 ∴MN=9, 故选:D. 【分析】由∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 E,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用两直线平行,内错角相 等,利用等量代换可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然后即可求得结论. 10.【答案】B 【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质;三角形的综合 【解析】【解答】解:①△DAC 和△EBC 均是等边三角形, , 在和中 可得①符合题意; ②由①知 在和 ,, 中 可得②符合题意; ,在, ,可得③不符合题意; ③由②得, ④过点 C 作于点 Q,于点 H, 由②得,,,, 平分,可得④符合题意; ⑤ 可得⑤符合题意. 故答案为:B 【分析】利用等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质逐项判断即可。 11.【答案】x(x-2) 【知识点】提公因式法因式分解 【解析】【解答】解:. 故答案为: x(x-2). 【分析】直接提取公因式 x 即可. 12. 【答案】 【知识点】单项式除以单项式 【解析】【解答】解:6x2y3÷(-2x2y)=-3y2. 故答案为-3y2. 【分析】利用单项式除以单项式的计算方法求解即可。 1 3.【答案】 【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数 【解析】【解答】解:∵0.000 000 102=1.02×10-7. 故答案为:1.02×10-7. 【分析】科学记数法:将一个数字表示成 a×10 的 n 次幂的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,由此即可得出答 案. 14. 【答案】12 【知识点】多边形内角与外角 【解析】【解答】解:∵多边形的每一个内角都等于 150°,∴多边形的每一个外角都等于 180°﹣150°=30°,∴ 边数 n=360°÷30°=12 . 故答案为:12. 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数,再用 360°除以外角的度数即可得到边数. 15. 【答案】75° 【知识点】三角形的外角性质 【解析】【解答】解:如图, 故答案为: 【分析】利用三角形外角的性质可得。 16. 【答案】4 【知识点】三角形的外角性质;含 30°角的直角三角形 【解析】【解答】解:如图,过 D 作 DG⊥AC 于 G , ∵AD 平分∠BAC,DF⊥AB, ∴DF=DG, ∵∠DAE=∠ADE=15°, ∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=30°,DE=AE=8, ∴, ∴DF=4, 故答案为:4. 【分析】过 D 作 DG⊥AC 于 G,先求出∠DEG=∠DAE+∠ADE=30°,DE=AE=8,再利用含 30°角的直角三角形 的性质可得,从而可得 DF=4。 17.【答案】9.6 【知识点】三角形的面积;等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解:∵AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,∴AD 垂直平分 BC,∴BP=CP. 过点 B 作 BQ⊥AC 于点 Q,BQ 交 AD 于点 P,则此时 PC+PQ 取最小值,最小值为 BQ 的长,如图所示 . ∵S△ABCBC•ADAC•BQ,∴BQ9.6. 故答案为:9.6. 【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 AD 垂直平分 BC,根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相 等得出 BP=CP,过点 B 作 BQ⊥AC 于点 Q,BQ 交 AD 于点 P,则此时 PC+PQ 取最小值,最小值为 BQ 的 长,然后根据三角形的面积法,得出 BC•AD =AC•BQ,根据等积式即可求出 BQ 的长. 18. 【答案】解:原式=3+4+1﹣2 =6. 【知识点】实数的运算;0 指数幂的运算性质;负整数指数幂的运算性质 【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简 3 个考点.在计算时,需要针对每个考点分别 进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 19. 【答案】解:原式= = =; 当时,原式==. 【知识点】利用分式运算化简求值 【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算,再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式,同时 将分式除法转化为乘法运算,约分化简,然后将 x 的值代入进行计算. 2 0.【答案】(1)证明:∵AD⊥BC,BD=DE, 即 AD 是 BE 的垂直平分线, ∴AB=AE, 又∵EF 垂直平分 AC, ∴AE=CE, ∴AB=CE; (2)4 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解: ∵,的周长为 14cm, ∴AB+BC+AC=14cm, ∴AB+BC=14-AC=14-6=8cm, ∵,AB=CE, ∴AB+BD=DE+EC=DC, ∵AB+BC=AB+BD+DC=2DC=8cm, ∴DC=4cm. 故答案为:4. 【分析】 (1)根据线段垂直平分线的性质可得 AB=AE,AE=CE,利用等量代换即得结论; (2)由△ABC 的周长为 14cm,可推出 AB+BC=8cm,由 BD=DE,AB=CE,可得 AB+BD=DE+EC=DC,根据 AB+BC=AB+BD+DC=2DC 即可求解. 2 1.【答案】(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠ADC=∠AEB=90°, 在△ADC 和△AEB 中, , ∴△ADC≌△AEB(AAS), ∴AD=AE, ∴AB﹣AD=AC﹣AE, 即 DB=EC; (2)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠BDO=∠CEO=90°, 在△BDO 和△CEO 中, , ∴△BDO≌△CEO(AAS), ∴OD=OE, ∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴AO 平分∠BAC. 【知识点】三角形全等的判定(AAS) 【解析】【分析】 (1)利用“AAS”证明△ADC≌△AEB,可得 AD=AE,再利用线段的和差及等量代换可得 DB=EC; (2)利用“AAS”证明△BDO≌△CEO,可得 OD=OE,再根据 CD⊥AB,BE⊥AC,可得 AO 平分∠BAC。 2 2.【答案】解:⑴如图所示,△A1B1C1 即为所求. ⑵S△ABC=2×3﹣2××1×2﹣×1×3=; ⑶如图所示,点 P 即为所求. 【知识点】作图﹣轴对称;轴对称的应用-最短距离问题;几何图形的面积计算-割补法 【解析】【分析】 (1)利用轴对称的性质找出点 A、B、C 的对应点,再连接即可; (2)利用割补法求出三角形的面积即可; (3)连接 AB1,交直线 MN 于点 P 即可。 23.【答案】(1)解:设第一批购进圆规的单价为 x 元/件, 则第二批购进圆规的单价为(1+25%)x 元/件, 依题意得:, 解得:x=5, 经检验,x=5 是原方程的解,且符合题意. 则第二批进价为:元/件 答:第一批购进圆规的单价为 5 元/件,第二批进价为元/件; (2)解:第一批购进圆规的数量为 1000÷5=200(件) , 第二批购进圆规的数量为 200−40=160(件) , 共盈利(200×7−1000)+(160×8−1000)=400+280=680(元) . 答:一共盈利 680 元. 【知识点】分式方程的实际应用 【解析】【分析】(1)设第一批购进圆规的单价为 x 元/件,则第二批购进圆规的单价为(1+25%)x 元/件,根 据题意列出方程,解之并检验即可得出答案; (2)根据题意列出算数即可得出答案。 2 4.【答案】(1)29=52+22 (2)2 (3)解:x2+y2-2x+4y+5=0, x2-2x+1+(y2+4y+4)=0, (x-1)2+(y+2)2=0, ∴x-1=0,y+2=0, ∴x=1,y=-2, ∴x+y=1-2=-1. 【知识点】定义新运算;配方法的应用;非负数之和为 0 【解析】【解答】解:(1)∵29=52+22, ∴29 是“完美数”, 故答案为:29=52+22; (2)∵x2-4x+5=(x2-4x+4)+1=(x-2)2+1, 又 x2-4x+5=(x-m)2+n, ∴m=2,n=1, ∴mn=2×1=2, 故答案为:2; 【分析】 (1)根据“完美数”的定义求解即可; 2利用配方法的计算方法可得 m、n 的值,再将 m、n 的值代入计算即可; 3利用配方法将变形为 (x-1)2+(y+2)2=0,求出 x、y 的值,再将 x、y 的值代入 x+y 计算即可。 2 5.【答案】(1)解:∵AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠B=∠C=40°. ∵△ABD 和△AFD 关于直线 AD 对称, ∴△ADB≌△ADF, ∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ, ∴AF=AC. ∵AG 平分∠FAC, ∴∠FAG=∠CAG. 在△AGF 和△AGC 中, , ∴△AGF≌△AGC(SAS), ∴∠AFG=∠C. ∵∠DFG=∠AFD+∠AFG, ∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°. (2)解:①当 GD=GF 时, ∴∠GDF=∠GFD=80°. ∵∠ADG=40°+θ, ∴40°+80°+40°+θ+θ= 180°, ∴θ=10°. 当 DF=GF 时, ∴∠FDG=∠FGD. ∵∠DFG=80°, ∴∠FDG=∠FGD=50°. ∴40°+50°+40°+2θ= 180°, ∴θ=25° . 当 DF=DG 时, ∴∠DFG=∠DGF=80°, ∴∠GDF=20°, ∴40°+20°+40°+2θ= 180°, ∴θ=40° . ∴当 θ=10°,25°或 40°时,△DFG 为等腰三角形; ②当∠GDF=90°时, ∵∠DFG=80°, ∴40°+90°+40°+2θ= 180°, ∴θ=5° . 当∠DGF=90°时, ∵∠DFG=80°, ∴∠GDF=10°, ∴40°+10°+40°+2θ= 180°, ∴θ=45° , 综上所述,当 θ=5°或 45°时,△DFG 为直角三角形 【知识点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形的性质 【解析】【分析】 (1)根据题目条件,证明△ABD≌AFD,根据三角形全等的性质即可判断△AFG≌△ACG,得 出∠DFG 的度数即可。 (2)①根据题意可知,利用等腰三角形的性质即可得到以下几种情况,GD=GF,DF=GF,DF=DG 进行求解 即可。 ②若三角形为直角三角形,根据题意则∠GDF 或者∠DGF 等于 90°,根据所设的角的情况,求出角的数值即 可。
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