广东省2010年普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题（本大题共5小题,每小題3分，共15分）
3
1.设函数y = /（x）的定义域为（q,+oo）, 则函数y = -［f（x）- /（-x）］在其定义
域上是（ ）
A.偶函数
B.奇函数
C.周期函数
D.有界函数
2. x
=0 是函数 f(x) = \e\、＜0的(
0,点0
A,连续点
B.第一类可去间断点
C.第一类跳跃间断点
D.第二类间断点
3.当xtO时，下列无穷小量中，与x等价的是（
A. 1-cosx
B. Vl + x2 -1
C. ln(l + x) + x
D. er-l
4. 若函数/（X）在区间［。,仞上连续，则下列结论中正确的是（
A,在区间（。0）内至少存在一点
使得/e）=o
B.在区间（白力）内至少存在一点
使得尸（&） = 0
C.在区间（。力）内至少存在一点专，
D.在区冋（。0）内至少存在一点g,
使 ^fy(x)dx = f^)(b-a)
5. 设 f(x + y, xy) = x2+y2-xy,则"护)=(
A. 2y-x
B.
C. 2x-y
D. -3
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6. 设。，人为常数，若lim（—+ />x） = 2,贝|］。+力=
x* X+1
7. 圆x2+y2 = x + y在(0,0)点处的切线方程是 .
8. 由曲线y =-是和直线x = l, x = 2及y = 0围成的平面图形绕x轴旋转一周所构成的几
X
何体的体积/= .
9. 微分方程/-5/-14^ = 0的通解是、= .
10 .设平而区域 D = {(x, ^)|x2+y2- -4（勿 一 2x）
CSC-X =lim
2
12.
2
— a、 r,小 Ax2 sin— + sin 2Ax
解：,（o）=lim 竺W=lim——冬
m-»o Ax aio Ar
=lim （Ax sin 1
a*->o k Ax
2 sin2k）= o+］jm 些L
At->0 Ay
= 21im 业竺=2.
aio 2 Ax
13.
解：有题意知ae+b = \ ①
a 1 2a -
又因为y' = ex + 2bx9 yn = —ex +—re
X X X
所以，有题意知2ae+ae+2b = 3ae+2b = Q ② 由①和②解得o = _Z, b = 3
e
14. 解-：原式=［竺业严姦=［竺X+fcof液
J sin x J sin x J
=J .，d sin x + J(esc2 x - V)dx
=——: cotx—x + C.
sinx
1 -sin —
解二：原式=f ^-dx
J c • 2 X
2 sin —
2
=S J c sc? ； t/r _ = J c sc? ； _ j "x = -cot—-x+C.
2
15. 解：令Jd,则x = ln(l+F), dx = ^rdt
l + £
所以 犬一 k/r = J； dt = 2^dt - 2「=2-2(arctan 3 - arctan 2).
-f—'(x) = x(x-l) = 0,得驻点x,=0,x2=l
列表如下：
X
(f，0)
0
(0,1)
1
(1,B
中3
+
0
-
0
+
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
极大值0(0) = 0
极小值 0(1) - Jqx(x -\)dx = _!.
20.解：®f(x) =
(i+K
X
.vln(l+^)
=e
tln(lU-)
X
峥*•丄Y)
. X .
= (l + -)2[ln(l+-)-^-
x x x + 2
② J y(2x)dx = ^f(2xW2x)
令 r = 2x ,则 ^f(2x)dx = :
3
广东省2011年普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题(本大题共5小题,每小題3分，共15分)
F列极限运算中，正确的是(
A.
sinx lim
x—xc y
B. lime" =co
X—>8
C. lim ex =0
D. lim(l+—)* = e
x-»° x
2.
若函数_/。)=
四J(l +心)' (x>0)在x = o处连续，则。=(
2 + x (x < 0)
A.
-In2
B. In2
C. 2
D・x2
3.已知f(x)的二阶导数存在，且/(2) = 0.尸(2) = 1 ,则x = 2是函数F(x) = (x-2)2/(x)
A.极大值点
B.最小值点
C.极小值点
D.最大值
4.已知^xf(x)dx = 2,贝^^f(4x + \)dx=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知/(x,
y) = -
A. -1
sin(2x2-/)
B. 0
二、填空题(本大题共5小题,
6.
kx
(2x + 3)3
则以0, o)=(
* = 0
C. 1
D. 2
每小题3分，共1S分)
是等价无穷小，则常数* =
8.
己知/(X)在(F,W)内连续，旦/(X)=「》(})出，则f'(X)=
9.
已知二元函数z =竺北3。0)，则切乙-夕
dxdy dvdx
10. 设平面区域。由直线y = x, y = 2x,及x = l所围成，则二重积分^2dxdy = .
D
三、计算题〈本大題共8小题，每小题6分，共48分)
11. 计算 lim(丄一 B).
J。x sin x
12. 已知函数/'(X)的〃一2阶导数f(n~2\x) = — ,求/(x)的〃阶导数.
Inx
13. 求曲/(x) = x-arctanfcr (XvO)的凹凸区间和拐点.
14. 计算不定积分JVsinMx.
15. 计算定积分J*arctanr2虫
16. 求微分方程y', + 2y,-Sy = 0满足初始条件土=5, /|x=0=-2的特解.
17. 己知隐函数z = f(x,y)由方程e-x:-yz+x2y = \所确定，求自，刍.
ox dy
18. 已知直角坐标系二重积分：「必•［后一\~ dy,试用极坐标法计算二重积分.
J。J。 \ + x2 + y2
四、综合题（本大題共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19. 过坐标原点作曲线y = ex的切线/,切线/与曲线y = ex及*轴围成的平面图形记为G 求：①切线，的方程：
② G的面积：
③ G绕x轴旋转所得旋转体体积.
20. 若定义在区间（0,力）的可导函数y = f（x）满足》*' = （»cotx-l）j,且*| . = 2
X=2 N
求：①函数* = /（X）的表达式；
②证明：函数y = /（X）在区间（0,力）内单调递减.
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广东省2011年普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题参考答案
一、 单项选择题（本大題共5小題，每小题3分，共15分）
1. C 2. B 3. C 4. D 5. A
二、 填空题（本大題共5小题，每小題3分，共15分）
6. 8 7. -I 8. 2/（x） 9. 0 10. 1
三、计算题（本大題共8小题，每小題6分，共48分）
1 x + 1 sinx-x -X
11. 解：lim( ) = hm
x sinx I。 xsinx
cos x-2x-\
=hm
I。sinx + xcosx
sinx-2 -2 ,
=lim ；— = lim ——=—1
x->° cosx + cosx —xsinx x~*Q 2
12. 解：/<->(x) = [r-2)(x)] = ( x )f=lnx-l
Inx (In x)
lnx-1
(Inx)2
]=
(In x I)' (In x)2 -[(In x)2 ] • (In x — 1)
(W
21nx-(lnx)2 2-lnx x(ln x)4 x(ln x)3
13. 解：函数 f(x) = x-arctan kx 的定义域为(一 co,+oo)：
w 土 帚^
令广（x） = 0,解得x = 0,列表讨论如下:
X
(5)
0
(0,+8)
+