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数学试卷 数学测试卷共4页,满分150分。考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。 3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合,则A∩B= A. {2,3,5,6} B. {3,5,6} C. {5,6} D. {6} 2. 已知向量,则实数m= A. B. C. D. 3. 设f(x)是定义域为R的函数,且“”为假命题,则下列命题为真的是 A. B. C. D. 4. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,则不等式的解集为 A. B. C. D. 5. 设,函数为偶函数,则的最小值为 A. B. C. D. 6. 设等差数列{}的前n项和为,,则k= A. 6 B. 8 C. 9 D. 14 7. 已知函数f(x)的图象如图1所示,则图2所表示的函数是 A. B. C. D. 8. 已知,且,则3的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9. 设z是非零复数,则下列说法正确的是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 10. 已知,则 A. B. C. D. 11. 已知函数的最小正周期为T,,且是f(x)的一个极小值点,则 A. B. 函数f(x)在区间,π)上单调递减 C. 函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称 D. 函数f(x)的图象与直线x恰有三个交点 12. 在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,,记△ABC的面积为S,则 A. △ABC一定是锐角三角形 B. C. 角B最大为 D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13. 曲线在点(π,f(π))处的切线方程为___________。 14. 已知等比数列{}的前n项和为,,则=___________。 15. 已知向量a,b满足,则b在a上的投影向量的模为___________。 16. 已知且,函数有最小值,则a的取值范围是___________。 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 已知等差数列}满足 (1)求数列{}的通项公式 (2)若数列}是公比为2的等比数列,且,求数列{bn}的前n项和。 18.(12分) 已知函数的部分图象如图所示。 (1)求f(x)的解析式; (2)求不等式的解集。 19.(12分) 如图,在平面四边形ABCD中,。 (1)求∠BAD; (2)若,△BDC的面积为,求AC的长。 20.(12分) 已知函数 (1)讨论f(x)的单调性: (2)当时,,求a的取值范围。 21.(12分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,函数的最大值为1。 (1)求cosA的值; (2) 此△ABC是否能同时满足,且___________? 在①,②BC边的中线长为,③BC边的高线长为这三个条件中任选一个,补充在上面问题中,若△ABC满足上述条件,求其周长;若不能满足,请说明理由。 22.(12分) 已知函数 (1)当时,讨论f(x)的单调性: (2)若f(x)存在两个极值点,求a的取值范围。 2023年普通高等学校招生全国统一考试 11月调研测试卷 数学参考答案 一、选择题 1—8CACDDBCD 第5题解析:,由题知,故,最小值为。 第6题解析:{}为等差数列,由知数列{}的公差为2,故,即,解得。 第7题解析:由图知,将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位即得图2,故解析式为。 第8题解析: 故当且仅当时,等号成立。 二、选择题 9. ABD 10. BC 11. ABD 12. BCD 第9题解析:A选项,,故;B选项,即。故;C选项,即z为纯虚数,故;D选项,∵,故。 第10题解析:A选项,∵,∴单调递增,∴;B选项,函数单调递增, 故,∴即选项,前面已得,,故;D选项,函数单减。单增,故。 第11题解析:由题知,∴,又。 为极小值点。,∴f(x)在[,π]上单减;,故(,0)不是f(x)的对称中心:函数与直线的部分图象如下。直线x恰好经过的一个最低点(—,—1),且当时。,故它与的图象再无交点,所以二者共有3个交点。 第12题解析:A选项,取,但△ABC显然为直角三角形:B选项,由以A,C为焦点、2b为长轴长的椭圆上运动,结合椭圆的几何性质知,当B为短轴端点时△ABC面积最大,为; C选项,,当且仅当时取等,故; D选项,,显然,故,即,即。 三、填空题 13. 14. 15. 1 16. (0,] 第14题解析:设公比为q,则,故 。 第15题解析:由题知,,故,b在a上的投影向量的模为|。 第16题解析:当时,x在(0,a)上的值域为(—∞,1),故函数f(x)无最小值,不符合题意;当时,上有最小值x在(0,a)上的值域为(1,+∞),故函数f(x)有最小值只需,即,所。 四、解答题 17.(10分) 解:(1)设等差数列{}的通项公式为,则,故,即,∴:。。。5分 (2),∴,。。。7分 ∴。。。10分 18.(12分) 解:(1)由图知,∴。。。。。。2分 由图知。故,∴,。。。。。5分 ∴:。。。。6分 (2)结合函数的图象可知,,故不等式的解集为。。。。12分 19.(12分) 解:(1)由题知,故,。。。。。。2分 ∴,故:。。。。5分 (2)在△ABD中,由正弦定理得,即。。。。。7分 由知,故,。。。10分 ∴,∴。。。12分 20.(12分) 解:(1) 当即时。或 故f(x)在(—∞,—1)和(ln2a,+∞)上单增,在(—1,In2a)上单减:……2分 当时。,f(x)在R上单增:。。。4分 当时,或 故f(x)在(—∞,ln2a)和(—1,+∞)上单增,在(ln2a,—1)上单减:……6分 (2)由(1)知,当时,上恒成立,f(x)单增, 故,符合题意:。。8分 当时。,故f(x)在[0,ln2a)上单减,在上单增,,故,解得; 综上。。。。12分 21.(12分) 解:(1),由题知,解得。。。6分 (2)若选①,由, 由正弦定理知∴ 又由余弦定理知,解得,有,所以△ABC能满足上述条件, 解得,故△ABC的周长为。。。。。12分 若选②,设BC边的中线为AD,则,∴,∴,又由余弦定理得, 故,而,矛盾,△ABC不存在,故不能满足。。。12分 若选③,则,由(1)知,∴, 由余弦定理知,有,所以△ABC能满足上述条件, ∴,故△ABC的周长为。。。。。12分 22.(12分) 解:(1),则)上单减,在上单增:。。4分 (2),f(x)有两个极值点,则f'(x)至少有两个零点,设,则,设,则,∴h(x)在(1,+∞)上单减,又,∴g(x)在(1,2)上单增,在(2,+∞)上单减,又x→1时时,欲使在(1,+∞)内至少存在两个不等实根,则且,即。。。。10分 此时,f'(x)在(1,2)和(2,+∞)内各存在一个零点,分别设为x1、,则f(x)在(1,x1)上单减,在(x1,)上单增,在(,+∞)上单减,故为f(x)的极小值点,为f(x)的极大值点,符合题意:。。。。12分 ∴.
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