22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、选择题
1.[山西中考]用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为 ( )
A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
2.抛物线y=3x2-6x+4的顶点坐标是 ( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.(1,-1)
3.抛物线y=(x-1)2+3 ( )
A.有最大值1 B.有最小值1
C.有最大值3 D.有最小值3
4.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线 ( )
x
-1
1
5
y
2
5
2
A.x=3 B.x=2
C.x=1.5 D.x=1
5.[上海中考]下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,c>0
C.b>0,c>0 D.a,b,c都小于0
7.[益阳中考]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.ac<0 B.b<0
C.b2-4ac<0 D.a+b+c<0
8.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 ( )
A.m=1 B.m=2
C.m≤-1 D.m≥-1
9.在抛物线y=ax2-2ax-3a上有A(-0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
10.[德州中考]如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
11.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( )
A.m≥2 B.0≤m≤2
C.2≤m≤4 D.m≤4
12.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
13.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
14.(泰安)在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是( )
15.(孝感)将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为( )
A.y=-x2-2 B.y=-x2+2
C.y=x2-2 D.y=x2+2
16.(河北)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下:
甲:若b=5,则点P的个数为0;
乙:若b=4,则点P的个数为1;
丙:若b=3,则点P的个数为1.
下列判断正确的是( )
A.乙错,丙对 B.甲和乙都错
C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
二、填空题
17.由二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出其性质:
(1)若a>0,当x<-时,y随x的增大而__ ______;
当x>-时,y随x的增大而_______;
当x=-时,y取最________值____________.
(2)若a<0,当x<-时,y随x的增大而________;
当x>-时,y随x的增大而________;
当x=-时,y取最________值____________.
18.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第 象限.
19.将二次函数y=-2(x-1)2+3化为y=ax2+bx+c的形式,则a= ,b= ,c= .
20.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k= .
21.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1,则常数b的值为 .
22.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,用“>”“<”或“=”填空:
(1)a+b+c 0;
(2)a-b+c 0;
(3)2a-b 0.
23.我们把与抛物线y=ax2(a≠0)的开口大小一样且开口方向相反的抛物线,称为原抛物线的“同口反向抛物线”.如果抛物线y=x2的一个“同口反向抛物线”的顶点在直线y=x上,且与抛物线y=x2的顶点距离为2,那么它的“同口反向抛物线”的解析式是 .
24.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为 .
25.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为 .
三、解答题
26.已知二次函数y=x2+4x+3.
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)在平面直角坐标系xOy中,画出这个二次函数的图象;
(3)当 时,y<3;
(4)当 时,y随x的增大而减小.
27.已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象向上平移k(k>0)个单位长度,若平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.
28.已知关于x的二次函数y=x2-2mx+3.
(1)若m=1,求函数y的最小值;
(2)当-1≤x≤0时,函数y的值恒大于1,求m的取值范围.
29.(温州)已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13).
(1)求a,b的值;
(2)若(5,y2),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值.
30.(宁波)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围;
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
31.(上海)在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于点A,B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长;
(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=,求这条抛物线的解析式;
(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.
32.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
答案
一、选择题
1.[山西中考]用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为 (B)
A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
2.抛物线y=3x2-6x+4的顶点坐标是 (A)
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.(1,-1)
3.抛物线y=(x-1)2+3 (D)
A.有最大值1 B.有最小值1
C.有最大值3 D.有最小值3
4.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线 (B)
x
-1
1
5
y
2
5
2
A.x=3 B.x=2
C.x=1.5 D.x=1
5.[上海中考]下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是 (C)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有 (C)
A.a>0,b>0 B.a>0,c>0
C.b>0,c>0 D.a,b,c都小于0
7.[益阳中考]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (B)
A.ac<0 B.b<0
C.b2-4ac<0 D.a+b+c<0
8.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 (D)
A.m=1 B.m=2
C.m≤-1 D.m≥-1
9.在抛物线y=ax2-2ax-3a上有A(-0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为 (B)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
10.[德州中考]如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B)
11.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( C )
A.m≥2 B.0≤m≤2
C.2≤m≤4 D.m≤4
12.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( D )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
13.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是( A )
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
14.(泰安)在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是( C )
15.(孝感)将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为( )
A.y=-x2-2 B.y=-x2+2
C.y=x2-2 D.y=x2+2
【点拨】∵抛物线C1:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴抛物线C1的顶点为(1,2).
∵将抛物线C1向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,
∴抛物线C2的顶点坐标为(0,2).
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,
∴抛物线C3与抛物线C2的开口方向相反,顶点坐标为(0,-2).
∴抛物线C3的解析式为y=