22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
*第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、选择题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是( )
A.y=x2-4x+5 B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5 D.y=-x2+4x+5
2.如果二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4,则a,b的值是( )
A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1
C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=3x2完全相同,顶点坐标是(-2,4),则该抛物线的解析式为 ( )
A.y=-3(x+2)2+4
B.y=3(x+2)2+4
C.y=-(2x+1)2+4
D.y=-3(2x-1)2+4
4.已知抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=12x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为 ( )
A.y=-12(x+3)2+5
B.y=-12(x-3)2-5
C.y=12(x+3)2+5
D.y=12(x-3)2-5
5.已知某抛物线的顶点坐标为M(-2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为 ( )
A.y=(x-2)2+1 B.y=14(x+2)2+1
C.y=(x+2)2+1 D.y=-14(x+2)2+1
6.某抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为 ( )
A.y=2x2-2x-4 B.y=-2x2+2x-4
C.y=2x2+2x-4 D.y=x2+x-2
7.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是 ( )
A.y=-x2+x+2
B.y=-12x2-12x+2
C.y=-12x2-12x+1
D.y=x2-x-2
8.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x=-1,则这个二次函数的解析式为 ( )
A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3
C.y=-x2-2x-3 D.y=-x2-2x+3
9.当k取任意实数时,抛物线y=3(x-k-1)2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是( )
A.y=x2+2 B.y=x2-2x+1
C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-3
二、填空题
10.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,则该抛物线的解析式是 .
11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(-2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 .
12.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 .
13.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y= .
14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有 .(填写序号)
15.如果将二次函数y=-6(x-1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是 ;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是 .
16.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为 .
三、解答题
17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),求该抛物线的解析式和顶点E的坐标.
18.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
-2
-2
0
4
…
求该二次函数的解析式.
19.已知抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=4x2-2x+5的形状相同,且抛物线y=a(x-h)2+k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.
20.已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点坐标为0,52.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
21.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(陕西)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P、点E的坐标.
23.(江西)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
m
0
-3
n
-3
…
(1)根据以上信息,可知抛物线开口向________,对称轴为____________.
(2)求抛物线的解析式及m,n的值.
(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P′,描出相应的点P′,再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线?
(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系:______________.
24.(永州)在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B在x轴上,且AB=4,抛物线经过A,B,C三点,如图①所示.
(1)求抛物线所表示的二次函数解析式.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M,N两点,如图②所示.
①求△CMN面积的最小值.
②已知Q是抛物线上一定点,问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线l对称?若存在,求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式;若不存在,请说明理由.
25.(攀枝花)如图,开口向下的抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),点P是第一象限内抛物线上的一点.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值.
26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;
(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.
27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.
答案
一、选择题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是( B )
A.y=x2-4x+5 B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5 D.y=-x2+4x+5
2.如果二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4,则a,b的值是(A)
A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1
C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=3x2完全相同,顶点坐标是(-2,4),则该抛物线的解析式为 (B)
A.y=-3(x+2)2+4
B.y=3(x+2)2+4
C.y=-(2x+1)2+4
D.y=-3(2x-1)2+4
4.已知抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=12x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为 (B)
A.y=-12(x+3)2+5
B.y=-12(x-3)2-5
C.y=12(x+3)2+5
D.y=12(x-3)2-5
5.已知某抛物线的顶点坐标为M(-2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为 (D)
A.y=(x-2)2+1 B.y=14(x+2)2+1
C.y=(x+2)2+1 D.y=-14(x+2)2+1
6.某抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为 (C)
A.y=2x2-2x-4 B.y=-2x2+2x-4
C.y=2x2+2x-4 D.y=x2+x-2
7.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是 (A)
A.y=-x2+x+2
B.y=-12x2-12x+2
C.y=-12x2-12x+1
D.y=x2-x-2
8.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x=-1,则这个二次函数的解析式为 (D)
A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3
C.y=-x2-2x-3 D.y=-x2-2x+3
9.当k取任意实数时,抛物线y=3(x-k-1)2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是(C)
A.y=x2+2 B.y=x2-2x+1
C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-3
二、填空题
10.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,则该抛物线的解析式是 y=-x2+2x+3 .
11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(-2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 y=-12x2-12x+1 .
12.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 y=2x2-8x+6 .
13.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y= 36 .
14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有 ①③④ .(填写序号)
15.如果将二次函数y=-6(x-1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是 y=6(x-1)2 ;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是 y=-6(x+1)2 .
16.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式