人教版九年级数学上册同步练习卷
22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1.若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为( )
A., B.,
C., D.,
2.函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为( )
A.0 B.0或2 C.0或2或﹣2 D.2或﹣2
3.函数y=x2-4的图象与y轴的交点坐标是( )
A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,4) D.(0,-4)
4.关于的二次函数的图像与轴有交点,则的范围是( )
A. B.且
C. D.且
5.抛物线y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数为( )
A.无交点 B.1 个 C.2 个 D.3 个
6.已知点P(m,n)在抛物线y=a(x﹣5)2+9(a≠0)上,当3<m<4时,总有n>1,当7<m<8时,总有n<1,则a的值为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=﹣x的图象如图所示,则方程ax2+(b+ )x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
8.若,为抛物线与x轴相交的两交点的横坐标,则的值为( )
A. B.12 C.14 D.15
9.已知函数,其中、为常数,且,若方程的两个根为、,且,则、、、的大小关系为
A. B.
C. D.
10.关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)=m(m>0)有两个实数根α,β(α<β),则下列选项正确的是( )
A.3<α<β<5 B.3<α<5<β C.α<2<β<5 D.α<3且β>5
11.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,,有下列结论:①;②;③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b,则.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.的图像如图所示,对称轴,若关于的(为实数)在的范围内有解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为 ______.
14.如图,抛物线与直线交于,两点,则不等式的解集是______.
15.若二次函数与y轴的交点位于(0,2)的下方了,则k的取值范围是____________________.
16.如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为,,则关于的方程的解为______.
17.已知抛物线与x轴的一个交点为,则代数式m²-m+2019的值为_______
18.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,其中正确结论的个数为________个.
三、解答题
19.抛物线y=-x2+bx+c过点(0,-3)和(2,1),试确定抛物线的解析式,并求出抛物线与x轴的交点坐标.
20. 求抛物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.
21.已知二次函数的图象与轴有公共点.
(1)求的取值范围;
(2)当为正整数时,求此时二次函数与轴的交点坐标.
22.已知y是关于x的函数,若其函数图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“和谐点”.
(1)求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标;
(2)若抛物线y=﹣x2+(a+1)x﹣a+1上有“和谐点”,且“和谐点”为A(x1,y1)和B(x2,y2),求W=x12+x22的最小值;
(3)若函数y=x2+(m﹣t+1)x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时,n的最小值为t,求t的值.
23.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为,与y轴交于点C,点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出的最小值;
(3)若抛物线上有一动点Q,使的面积为6,求点Q的坐标.
答案
1.A
【详解】
解:∵二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),
∴4a+1=0,
∴a=-,
∴方程a(x-2)2+1=0为:方程-(x-2)2+1=0,
解得:x1=0,x2=4,
2.C
【详解】
解:∵函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,
∴当m=0时,y=2x+1,此时y=0时,x=﹣0.5,该函数与x轴有一个交点,
当m≠0时,函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,
则△=(m+2)2﹣4m(m+1)=0,解得,m1=2,m2=﹣2,
由上可得,m的值为0或2或﹣2,
3.D
【详解】
解:由题意分析之,该函数与y轴有交点,则有x=0,此时的点是(0,-4),
4.B
【详解】
试题分析:二次函数图象与x轴有交点,则△=b2-4ac≥0,且m≠0,列出不等式则可.
由题意得,解得且,
故选B.
考点:该题考查函数图象与坐标轴的交点判断
点评:当△=b2-4ac>0时图象与x轴有两个交点;当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点;当△=b2-4ac<0时图象与x轴没有交点.同时要密切注意
5.B
【详解】
解:当y=0时,x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,
所以抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),
所以抛物线y=x2-2x+1与x轴只有一个交点.
6.D
【详解】
解:∵抛物线y=a(x﹣5)2+9(a≠0),
∴抛物线的顶点为(5,9),
∵当7<m<8时,总有n<1,
∴a不可能大于0,
则a<0,
∴x<5时,y随x的增大而增大,x>5时,y随x的增大而减小,
∵当3<m<4时,总有n>1,当7<m<8时,总有n<1,且x=3与x=7对称,
∴m=3时,n≥1,m=7时,n≤1,
∴,
∴4a+9=1,
∴a=﹣2,
7.C
【详解】
解:设的两根为x1,x2,
∵由二次函数的图象可知,,
.
设方程的两根为m,n,则
.
8.B
【详解】
令y=0可得:,则,为此方程的两个根,
且,可得,
由根与系数关系可得:,,
原式=
=
=
=12
9.C
【详解】
试题解析:函数y=(x-x1)(x-x2)的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1、x2;
函数y=(x-x1)(x-x2)-2的图象是由函数y=(x-x1)(x-x2)的图象向下平移2个单位得到的,
则方程(x-x1)(x-x2)-2=0[或方程(x-x1)(x-x2)=2]的两根x3、x4即为函数y=(x-x1)(x-x2)-2的图象与x轴的交点的横坐标,
它们的大致图象如图所示:
根据图象知,x3<x1<x2<x4.
故选C.
10.D
【详解】
将抛物线y=(x-3)(x-5)往下平移m个单位可得出抛物线y=(x-3)(x-5)-m,
画出函数图象,如图所示.
∵抛物线y=(x-3)(x-5)与x轴的交点坐标为(3,0)、(5,0),抛物线y=(x-3)(x-5)-m与x轴的交点坐标为(α,0)、(β,0),
∴α<3<5<β.
11.C
【详解】
一元二次方程化为一般形式得: ,
∵一元二次方程有两个不相等的实数根,,
∴,
∴,故②正确;
∵一元二次方程有两个不相等的实数根,,
∴, ,
而选项①中,只有在m=0时才能成立,故①错误;
二次函数y=
=
=
=
=,
当y=0时,=0,
∴x=2或x=3,
∴抛物线与x轴的交点为(2,0)与(3,0),即a=2,b=3,
∴a+b=2+3=5,故③正确,
12.C
【详解】
解:∵对称轴为直线x=1,
∴,
解得:,
∴;
当x=1时,,此时y为最小值;
当x=4时,,
∴在-1<x<4的范围内有:-1≤y<8,
∵x2+bx-t=0可变形为x2+bx=t,
∴.
故选:C.
13.(-3,0),(2,0)
【详解】
令y=0,2(x+3)(x-2)=0,x=-3或2,所以抛物线与x轴交点坐标分别为(-3,0),(2,0).
点睛:要求二次函数与x轴的交点坐标,令y=0,求出对应的x写出交点坐标即可;要求二次函数与y轴的交点坐标即令x=0,求出y写出交点坐标即可.
14.或
【详解】
解:当时,
则有,
即二次函数值大于一次函数值,
所以抛物线图象在直线上方,
则或,
故或.
15.
【详解】
解:令x=0,得,与y轴的交点坐标是,
∵交点在下方,∴,.
故答案是:.
16.,
【详解】
解:∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为,,
∴方程组的解为,,
即关于的方程的解为,.
故答案为x1=-2,x2=1.
17.2020
【详解】
∵抛物线y=x²−x−1与x轴的一个交点为(m,0),
∴m²−m−1=0,
∴m²−m=1,
∴原式=1+2019=2020.
18.3
【详解】
解:抛物线与轴有两个交点,
,所以①错误;
顶点为,
抛物线的对称轴为直线,
抛物线与轴的一个交点在点和之间,
抛物线与轴的另一个交点在点和之间,
当时,,
,所以②正确;
抛物线的顶点为,
,
抛物线的对称轴为直线,
,
,即,所以③正确;
当时,二次函数有最大值为2,
即只有时,,
方程有两个相等的实数根,所以④正确.
综上所述,共有3个正确结论,
故3.
【点评】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数的图象为抛物线,当,抛物线开口向上;对称轴为直线;抛物线与轴的交点坐标为;当,抛物线与轴有两个交点;当,抛物线与轴有一个交点;当,抛物线与轴没有交点.
19.抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0)
【详解】
分析:把(0,-3)和(2,1)代入抛物线,得出方程组,求出方程组的解,即可得出抛物线的解析式,把y=0代入解析式,求出x的值,即可得出抛物线与x轴的交点坐标.
详解:∵抛物线y=-x2+bx+c过点(0,-3)和(2,1),
∴,解得 ,
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3,
令y=0,得-x2+4x-3=0,即 x2-4x+3=0,
∴x1=1,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0).
点睛:本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,抛物线与x轴的交点问题,解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目较好,难度适中.
20.三角形的面积为10
【详解】
解:∵
∴令y=0,则,
解得,,
∴与x轴的交点为(-1,0)和(4,0),
令x=0,则y=4,
∴与y轴的交点为(0,-4)
∴抛物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积为
21.(1);(2)和
【详解】
解:(1)二次函数与轴有公共点
(2)为正整数
令
二次函数与轴的交点坐标为和.
22.(1);(2)w有最小值是;(3)t的值为3﹣或4+.
【详解】
解:(1)设“和谐点”的坐标为,
将点坐标代入直线y=3x﹣2得:t=3t﹣2,
解得:t=1,
故“和谐点”的坐标为;
(2)设抛物线“和谐点”的坐标为,
代入抛物线y=﹣x2+(a+1)x﹣a+1中得:
x=﹣x2+(a+1)x﹣a+1,
﹣x2+ax﹣a