22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
一、单选题
1.已知二次函数,当时,函数的最小值为;当时,函数的最小值为,则的值是( )
A. B.1 C.2 D.或2
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴是直线x=1,下列说法正确的是( )
A.a>0 B.2a+b=0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0
3.已知二次函数,当时,,则的值是( )
A.3 B.4 C.6 D.7
4.函数的图像可以由函数的图像通过如下平移得到( )
A.向左平移1个单位,再向上平移1个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
C.向右平移2个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移2个单位,再向下平多1个单位
5.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于(﹣1,0),( )
A.若c>0,则对称轴在y轴右侧 B.若c>0,则对称轴在y轴左侧
C.若c<0,则对称轴在y轴右侧 D.若c<0,则对称轴在y轴左侧
6.已知二次函数,其中,当时,y的最大值与最小值的差为16,则m的值为( )
A. B. C. D.2
7.已知二次函数的图象如图所示,有下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,抛物线的对称轴是,下列结论:①;②;③;④;⑤当时,.其中结论正确的个数有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9.已知抛物线,将抛物线平移得到抛物线,若两条抛物线、关于直线对称,则下列平移方法中,正确的是( )
A.将抛物线向右平移2.5个单位
B.将抛物线向右平移3个单位
C.将抛物线向右平移4个单位
D.将抛物线向右平移5个单位
10.已知二次函数(、是常数,)的图象经过点和,且当时,函数的最小值为,最大值为1,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、填空题
11.二次函数的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,平移后图象的函数表达式为___________.
12.二次函数的顶点坐标为______.
13.已知二次函数若,是该二次函数图象上的两点,且,则实数n的取值范围为__________.
14.已知函数的部分图像如图所示,那么当x________时,y随x的增大而增大.
15.在平面直角坐标系中,,,若抛物线经过点且与线段有两个不同的交点,则的取值范围是_________.
三、解答题
16.如图,抛物线经过,两点,与轴交于另一点,
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点在抛物线上,求的值.
17.已知,如图,直线AB经过点,点,与抛物线在第一象限内相交于点P,又知的面积为6.
(1)求a的值;
(2)若将抛物线沿y轴向下平移,则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A.
18.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1,0),(0,﹣3),(2,3)三点.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
19.已知一个二次函数图象的顶点是,且与轴的交点的纵坐标为4.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当取哪些值时,的值随值的增大而增大?
(3)点在这个二次函数的图象上吗?
20.如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,墙的最大可用长度为9米.设花圃的宽为米,面积为平方米.
(1)求与的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)求花圃面积的最大值.
4
答案
1.C
解:如图:
二次函数的图像开口向上
当时,函数的最小值为
当时,函数取得最小值
将,代入,得:
解得:
当时,函数的最小值为,
开口向上
时,,代入,得:
故选C
2.B
解:∵抛物线的开口向下,
∴a<0.故A错误;
∵x=﹣=1,
∴2a+b=0,故B正确.
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故C错误;
当x=1时,y>0,即a+b+c>0,故D错误;
故选:B.
3.C
解:∵
∴该函数的对称轴是直线x=3,函数图象开口向上,
当x=3时取得最小值-1,
又∵时,
当x=0时,y=8,当x=6时,y=8,
∴m=6
故答案选:C.
4.C
解:函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位,再向上平移1个单位.
故选C
5.D
解:将点(﹣1,0)代入函数关系式得,
0=﹣1﹣b+c,
即b=c﹣1,
又∵对称轴x(c﹣1),
当c>0时,对称轴x(c﹣1),无法判断正负;
当c<0时,对称轴x(c﹣1),
故对称轴在y轴的左侧,
故选:D.
6.C
解:,
∵m<0,
∴2m<0,
∴开口向下,
∴对称轴为直线x=,
∵0≤x≤3,
∴当x=1时取最大值,为y=2m-4m+m=-m,
又∵1-0=1,3-1=2,
∴3到对称轴的距离较远,
∴当x=3时,取到最小值y=18m-12m+m=7m,
∴-m-7m=16,
∴m=-2,
故选C.
7.C
解:①根据函数图象的开口向下知,,
∵抛物线与x轴交点一个在(-2,0)和(-1,0)之间,另一个在(0,0)和(1,0)之间,可得抛物线的对称轴在的右边,在轴左边,
,
,
∵抛物线与轴交于正半轴,
,
.
故①正确;
②∵抛物线的对称轴在的右边,,
,
,
,
,
,
故②错误;
③由函数图象可知,当时,,
即,
故③正确;
④由函数图象可知,当时,,即,当时,,即,
,故④正确;
故选:C.
8.C
解:函数开口向下,a<0;
函数的对称轴在y轴的右边,则ab异号,即b>0;
函数交于y轴的正半轴,则c>0,故,①错误;
当y=0时,函数与x轴有两个不同的交点,即此时一元二次方程有两个不同的实数根,即,故②正确;
函数的对称轴为直线x=1,则-2a=b,函数解析式为:,当x=-2时,,观察图象可知当x=-2时,对应的y值小于0,故②正确;
观察图象得:当x=2时,y=4a+2b+c>0;当x=-1时,y=a-b+c>0,则4a+2b+c+a-b+c=5a+b+2c>0,故④正确;
观察图象得:函数值y>0时,函数应该在x轴上方,而函数在x轴上方时对应的x的取值范围为函数与x轴交点坐标的横坐标的范围,故⑤错误.
综上①⑤错误,②③④正确,故选:C.
9.D
解:
抛物线对称轴为.
抛物线与轴的交点为.
则与点以对称轴对称的点是.
若将抛物线平移到,并且,关于直线对称,就是要将点平移后以对称轴与点对称.
则点平移后坐标应为.
因此将抛物线向右平移5个单位.
故选:D.
10.C
解二次函数(、是常数,)的图象经过点和,
,
解得:,
,
当时,函数的最小值为,最大值为1,
当时,;
时,,
解得:,
,
故选:C.
11.y=(x-3)2+4
解:二次函数y=(x-1)2+1的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后图象的函数表达式为:y=(x-1-2)2+1+3,即y=(x-3)2+4.
故答案是:y=(x-3)2+4.
12.
解:,
∴顶点坐标为(1,−2),
故(1,−2).
13.
解:∵,是二次函数图象上的两点,且,
∴,
解得,
故.
14.<1
解:根据图象得:
函数图像开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而增大,
故<1.
15.或
解:∵抛物线经过点,
∴,
∴;
∴,
∴抛物线的对称轴为;
设线段AB所在的直线解析式为:y=kx+b,
∵点,点,
∴ ,
解得,
∴
抛物线(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,
①当a<0时, ,
∴,
解得,,
∴当时满足抛物线(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,
∴ ;
②当a>0时, ,
∴,
解得,,
∴当时满足抛物线(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,
∴;
综上所述:或.
故或.
16.(1);(2)或.
解:(1)把,代入,
得:,
解得:,
抛物线的解析式为:.
(2)把代入,
得:,
解得:,.
的值为或.
17.(1);(2)6.
解:设点,直线的解析式为,
将、分别代入,
得,,
故,
的面积
,
再把代入,得,
所以,
把代入到中得:;
(2)设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点,
则平移后的抛物线为,
把代入得,
向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点.
18.(1)y=2x2﹣x﹣3;(2)抛物线的开口向上,对称轴为x=,顶点坐标为(,﹣).
解:(1)把(-1,0),(0,-3),(2,3)代入y=ax2+bx+c,得,解得.
所以,这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3.
(2)y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣,
所以,抛物线的开口向上,对称轴为x=,顶点坐标为(,﹣)
19.(1);(2)当时,y的值随值的增大而增大;(3)点P(3,5)不在这个二次函数的图象上
解:(1)设抛物线解析式为,
把(0,4)代入得,
解得:,
所以这个二次函数解析式为;
(2)抛物线的对称轴为直线,抛物线开口向上,
所以当时,y的值随值的增大而增大;
(3)当时,,
所以点P(3,5)不在这个二次函数的图象上.
20.(1)与的函数关系式为,自变量的取值范围为;(2)花圃面积的最大值为45平方米.
解:(1)由题意得:米,且
即
解得
故与的函数关系式为,自变量的取值范围为;
(2)由(1)知,
由二次函数的性质可知,当时,S随x的增大而减小
则当时,S取最大值,最大值为(平方米)
故花圃面积的最大值为45平方米.
9