人教版九年级上册数学同步练习卷
22.1二次函数的图像和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质
一、单选题
1.抛物线的顶点是( )
A. B. C. D.
2.抛物线y=x2﹣3的顶点坐标、对称轴是( )
A.(0,3),x=3 B.(0,﹣3),x=0 C.(3,0),x=3 D.(3,0),x=0
3.已知二次函数,当时,y随x增大而增大,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知点在同一个函数的图象上,这个函数可能是( )
A. B. C. D.
5.若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实根,则(a+2)(b+2)的最小值为( )
A.7 B.10 C.14 D.16
6.已知某函数经过点,,,且,则这个函数的表达式可以是( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数,如果当时,,则下列说法正确的是( )
A.有最大值,也有最小值 B.有最大值,没有最小值
C.没有最大值,有最小值 D.没有最大值,也没有最小值
8.方程的解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.如图,在矩形ABCD中,AD=8 cm,AB=6 cm.动点E从点C开始沿边CB向终点B以2 cm/s的速度运动,同时动点F从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE,设运动时间为x(单位:s),此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位:cm2),则y与x之间的函数关系用图象表示大致是 ( )
A. B. C.D.
10.如图,函数y =-2x2 的图象是( )
A.① B.② C.③ D.④
11.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结沦:①无论x取何值,y2的值总是正数;②2a=1;③当x=0时,y2﹣y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
12.从﹣3、﹣1、0、、2、3这六个数中,随机抽取一个数记为a,若数a使关于x的分式方程﹣1=有整数解,且使二次函数y=x2﹣(a﹣1)x+3,当x>时,y随x的增大而增大,那么这六个数中满足所有条件的a的值之和为( )
A.﹣ B. C. D.
二、填空题
13.抛物线的开口方向是向_______________(填“上”或“下”).
14.若点(-2,)和在函数的图象上,则__(填“>”、“<”或“=”)
15.已知:,是二次函数上的点,则___________.
16.如图,在平面直角坐标系中,点在抛物线上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C、D在线段AB上,分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时,线段CD的长为_________.
17.如图,已知A1,A2,A3,…,An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An=1,分别过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线交二次函数y=x2(x>0)的图象于点P1,P2,P3,…,Pn,若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去,则S3=________,最后记△Pn-1Bn-1Pn(n>1)的面积为Sn,则Sn=________.
18. 二次函数y=x2的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,A2017在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B2017在二次函数y=x2位于第一象限的图象上.若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2016B2017A2017都为正三角形,则△A2016B2017A2017的边长为____.
(第10题)
三、解答题
19. 一个二次函数,其图象由抛物线y=x2向右平移1个单位,再向上平移k(k>0)个单位得到,平移后的图象过点(2,1),求k的值.
20.在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
.
21.已知函数y=(k﹣2)是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的k的值;
(2)当k为何值时,抛物线有最高点?求出这个最高点,这时,x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)当k为何值时,函数有最小值?最小值是多少?这时,当x为何值时,y与x的增大而减小?
22.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),OB=OA,且∠AOB=120°.
(1)求直线AB的解析式;
(2)经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
23.已知:如图,二次函数图象的顶点坐标为C(1,﹣2),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(3,0),B点在y轴上.点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设点P的横坐标为x,求线段PE的长(用含x 的代数式表示);
(3)点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似,请求出P点的坐标.
答案
1.D
【详解】
解:∵抛物线y=1-3x2=-3x2+1,
∴该抛物线的顶点坐标为(0,1),
2.B
【详解】
解:∵y=x2﹣3,
∴抛物线的顶点坐标为(0,﹣3),对称轴为y轴;
3.B
【详解】
∵二次函数的对称轴为y轴,当时,y随x增大而增大,
∴二次函数的图像开口向上,
∴a-1>0,即:,
4.B
【详解】
解:∵A(-5,m),B(5,m),
∴点A与点B关于y轴对称;
由于y=x+2不关于y轴对称,的图象关于原点对称,因此选项A、D错误;
∵n2>0,
∴m+n2+1>m;
由A(-5,m),C(-2,m+n2+1)可知,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,
对于二次函数只有a<0时,满足条件,
∴B选项正确,
5.D
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式△≥0,可得出关于t的一元一次不等式,解之即可得出t的取值范围,根据根与系数的关系可得出a+b=2t,ab=t2﹣2t+4,将其代入(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4中可用含t的代数式表示出(a+2)(b+2),再利用二次函数的性质即可解决最值问题.
【详解】
解:∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0有实数根,
∴△=(﹣2t)2﹣4×1×(t2﹣2t+4)≥0,
∴t≥2.
∵a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实根,
∴a+b=2t,ab=t2﹣2t+4,
∴(a+2)(b+2)=ab+2a+2b+4=ab+2(a+b)+4=t2﹣2t+4+4t+4=t2+2t+8=(t+1)2+7.
∵1>0,t≥2,
∴当t≥2时,(a+2)(b+2)的值随t的增大而增大,
∴当t=2时,(a+2)(b+2)取得最小值,最小值=(2+1)2+7=16.
6.B
【详解】
解: A. 这个函数的表达式可以是时, ,
∴,故选项A不合题意;
B. 这个函数的表达式可以是时, ,
∴,故选项B合题意;
C. 这个函数的表达式可以是时, ,
∴,故选项C不合题意;
D. 这个函数的表达式可以是时, ,
∴,故选项D不合题意.
7.C
【详解】
解:二次函数.
开口向上,对称轴为,
当时,随增大而增大.
.
.即是的一次函数.
,
一次函数上升趋势.
.
有最小值,没有最大值.
8.B
【分析】
将方程变形为,然后分别画出函数的图像和函数的图像,看图像有几个交点则表明有几个点,注意函数图像中的点不是方程的解.
【详解】
解:由题意可知,方程可变形为,
进一步可将题意变成:函数的图像和函数的图像有几个交点,
画出它们的函数图像如下:
由图像可知,它们只有一个交点,故方程只有一个解,
题的关键.
9.A
分析:重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力.在解答时要注意先总结出函数的解析式,由解析式结合其取值范围判断,不要只靠感觉.
解答:解:此题在读懂题意的基础上,分两种情况讨论:当x≤4时,y=6×8-(x×2x)=-2x2+48,此时函数的图象为抛物线的一部分,它的最上点抛物线的顶点(0,48),最下点为(4,16);当4<x≤6时,点E停留在B点处,故y=48-x×8=-8x+48,此时函数的图象为直线y=-8x+48的一部分,它的最上点可以为(4,16),它的最下点为(6,0).
结合四个选项的图象知选A项.
故选A.
10.C
【详解】
根据二次函数解析式可知a=-2<0,函数的图象开口向下,且经过原点,
当x=1时,y=-2,
因此可知其图象为③.,
11.D
试题解析::①∵抛物线y2=(x-3)2+1开口向上,顶点坐标在x轴的上方,∴无论x取何值,y2的值总是正数,故本结论正确;
②把A(1,3)代入,抛物线y1=a(x+2)2-3得,3=a(1+2)2-3,解得a=,故本结论错误;
③由两函数图象可知,抛物线y1=a(x+2)2-3解析式为y1=(x+2)2-3,当x=0时,y1=(0+2)2-3=-,y2=(0-3)2+1=,故y2-y1=+=,故本结论错误;
④∵物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),
∴y1的对称轴为x=-2,y2的对称轴为x=3,
∴B(-5,3),C(5,3)
∴AB=6,AC=4,
∴2AB=3AC,故本结论正确.
故选D.
12.D
【分析】
求解分式方程,利用使分式有意义和使分式有整数解的条件来判断符合的a的值,再将这些数代入二次函数,根据二次函数的性质即可最后确定符合的a的值,最后相加即可.
【详解】
解分式方程,得:,且.
∴.
∴-3、-1、0、、2、3这六个数中,使x为整数的a为:0、、2、3;
将上述满足条件的a(0、、2、3)逐项代入二次函数表达式,根据二次函数的性质可知满足条件的a为:0、、2,
∴其和为:.
13.下
【详解】
解:∵抛物线解析式为y=﹣x2,a=﹣1<0,
∴该抛物线开口向下,
故下.
14.>
【详解】
解:把x=-2代入得,,
把x=代入得,,
>,
故>.
15.
【详解】
解:当时,;
当时,;
∵,
∴.
故.
16.
【详解】
解:将点代入抛物线中,解得,
∴抛物线解析式为,
设CD、EF分别与轴交于点M和点N,
当四边形CDFE为正方形时,设CD=2x,则CM=x=NE,NO=MO-MN=4-2x,
此时E点坐标为(x,4-2x),代入抛物线中,
得到:,
解得,(负值舍去),
∴,
故.
17.
【详解】
当x=1时,y=x2=,则P1(1,),所以S1=×1×=;
当x=2时,y=x2=2,则P2(2,2),所以S2=×1×(2-)= ;
当x=3时,y=x2=,则P3(3,),所以S3=×1×(-2)=,
同样方法可得S4=,
所以Sn=.
故答案是:,.
18.2017
【详解】
设△A0B1A1的边长为2a,则易得点B1(a,a),将点B1的坐