欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1 实数指数幂及其运算()教学设计 课程名称:3.1.1 实数指数幂及其运算(第一节)教材分析:1.数系的扩充 众所周知,人类对于数的认识经历了漫长的过程,从Z到Q,从Q到R,从R到C,乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑,但随着时间的发展,人们逐渐能够接受越来越多的数,而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。数系扩充的动力主要包括两个方面:(1)生产生活的推动 就本节课所涉及内容而言,指数模型是一种重要的数学模型,能较好的刻画许多自然现象(如放射性元素的衰变),在模型中变量 t 显然是连续的,因此要求我们将指数推广到实数范围内。(2)数学本身的推动 许多数的出现都与方程有关(如负数,分数,复数等),根式也不例外。当我们将数系扩充后,我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。事实上,如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后,仍然继承下述性质:(1)m nmnaaa(0a,,m nR)(2)当1a 时,若mn,则mnaa(0a,,m nR)当1a 时,若mn,则mnaa(0a,,m nR)当1a 时,若mn,则mnaa(0a,,m nR)则指数na的定义是唯一的 2.Cauchy法 从Z到Q是非常重要的一步,这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数,依靠的是,Q是,Z的分式环;从Q到R也是非常重要的一步,这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数,依靠的是逼近的想法。这种方法即为Cauchy法.事实上,如果附加上连续性条件,我们可以得到许多函数的“特征性质”如:(1)()f x是正比例函数或零函数()()(),f mnf mf nm nR(2)()f x是指数函数或零函数()()(),f mnf mf nm nR(3)()f x是对数函数或零函数()()(),0f m nf mf nm n(4)()f x是幂函数或零函数()()(),0f m nf mf nm n 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!3 问题一:现有一种新的放射性物质M,自然条件下每经过一年,剩余M的量为一年前的量的a倍。假设某时刻放射性物质M的量为 1,则在自然条件下:(1)1 年后,剩余放射性物质M的量为多少?(2)2 年后,剩余放射性物质M的量为多少?(3)3 年后,剩余放射性物质M的量为多少?(4)n年后,剩余放射性物质M的量为多少?为什么?问题二:现有一种新的放射性物质M,自然条件下每经过一年,剩余M的量为一年前的量的a倍。假设在自然条件下,放射性物质M放置了一段时间,剩余的量为1,则:(1)若放置时间为 1 年,则 1 年前放射性物质M的量为多少?(2)若放置时间为 2 年,则 2 年前放射性物质M的量为多少?(3)若放置时间为 3 年,则 3 年前放射性物质M的量为多少?(4)若放置时间为n年,则n年前放射性物质M的量为多少?为什么?问题三:根据前面的回答,填写下表 时间 n 年前 2 年前 1 年前 今年 1 年后 2 年后 N 年后 量 1 设计意图:复习整数指数幂的概念,重温负整数指数幂生成过程 二、问题引入 问题四:前述表达中,n的取值范围是什么?问题五:现有一种新的放射性物质M,自然条件下每经过一年,剩余M的量为一年前的量的a倍。假设某时刻放射性物质M的量为 1,则在自然条件下:(1)半 年后,剩余放射性物质M的量为多少?为什么?(2)一个月后,剩余放射性物质M的量为多少?为什么?(3)一年半后,剩余放射性物质M的量为多少?为什么?设计意图:结合具体模型为进一步引入有理指数幂及根式的概念作必要的准备 三、概念形成:一般地,设a,b是实数,n为正整数.若nba,则称b为a的n次单位根.(1)当n为奇数时,任何实数均恰有一个n次单位根,记作na;(2)当n为偶数时,负数没有n次单位根;0 有唯一的n次单位根 0;正数有两个n次单位根,记作na 根式运算性质:,|,nnanaan为奇数为偶数 问题六:观察等式 3332aaa,mna(其中m、n是正整数)应该如何定义?设计意图:引入正有理指数幂的概念 问题七:参考负整数次幂的实际意义,mna(其中m、n是正整数)有何实际意义?应欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!4 该如何定义?设计意图:引入负有理指数幂的概念 问题八:为了对任意的整数m、n,mna和mna都有意义,应该对a的取值范围补充哪些规定?设计意图:强调底数的取值范围.例 1.用分数指数幂表示下列各式 32x 31a 34()ab 322mn 23xy 设计意图:有理指数幂形式与根式形式相互转化 例 2.先将下列各式写成根式形式,再求值 1236 126449 2327 1410000 124 32164 设计意图:体验根式形式的优点 四、运算律:问题九:观察等式:33113222aaa,31122aaa,它们分别是初中阶段哪条性质的推广?设计意图:引入指数运算的性质 问题十:结合模型,说明m nmnaaa的含义.设计意图:阐明指数运算律的意义,帮助学生理解运算律.设a,b是任意正数,m,n是任意有理数,则:m nmnaaa,nmmnaa,()mmma bab 例 3.计算 151384aaa 61132xy 设计意图:有理指数运算性质应用 例 4.计算 842 222 2333(0)yxxxy 设计意图:体验有理指数运算的优点 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!5 五、课堂小结:1.本节课我们学习了分数指数幂的概念及与根式的关系 2.本节课我们将指数运算性质从整数指数推广到了有理指数幂 3.回顾数系的扩充,我们经历了 NNQZQR 回顾幂指数的扩充,我们经历了 NNQZQR 六、课后作业:1.课本 90 页 B 组 1、2 题的偶数题 2.三新(3.1.1 实数指数幂及其运算(一)板书设计:3.1.1 实数指数幂及其运算 一、根式 二、分数指数幂 三、运算律 若nxa(nN)mmnmnnaaa aaa 则 x为a的n次方根 (0a,,m nN,mn既约)aa 若n为奇数,则nxa 1mnmnaa aba b 若n为偶数,则nxa(0a,,m nN,mn既约),Q,0a 教学反思:课堂实践基本实现了课前预期.以应用背景为主线,贯穿本节课的教学,有效的克服了本节课的难点,使学生较易接受有理指数幂的概念,为后期进一步学习实数指数幂、指数函数,乃至对数运算、对数函数、幂函数都提供了素材.学生在得到下述连等式时:3133122aaaaa 往往仅能关注到其中的一个或两个等式,生成的顺序也不尽相同,需要教师对各种可能情况做好预案,根据课堂进程加以引导.学生虽然较为容易的得到了公式:m nmnaaa,nmmnaa 但是后续还需要不断强化和训练,加深学生的熟练度 本节课中关于根式运算的概念及其相关性质涉及较少,后续的课堂教学中需有针对性的补充和训练,否则可能会影响幂函数的学习(研究幂函数性质的一个重要方法,即将其改写为根式形式).