人教版勾股定理单元人教版勾股定理单元 易错题提优专项训练试题易错题提优专项训练试题一、解答题一、解答题1如图,己知RtABC,ACB90,BAC 30,斜边AB 4,ED为AB垂直平分线,且DE 2 3,连接DB,DA.(1)直接写出BC _,AC _;(2)求证:ABD是等边三角形;(3)如图,连接CD,作BF CD,垂足为点F,直接写出BF的长;(4)P是直线AC上的一点,且CP 1AC,连接PE,直接写出PE的长.32如图 1,已知ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 CDAE,AD 与BE 相交于点 F(1)求证:ABECAD;(2)如图 2,以 AD 为边向左作等边ADG,连接 BG)试判断四边形 AGBE 的形状,并说明理由;)若设 BD1,DCk(0k1),求四边形 AGBE 与ABC 的周长比(用含 k 的代数式表示)3如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AC,BC 上的点,且满足 DEEF,垂足为点E,连接 DF(1)求EDF=(填度数);(2)延长 DE 交 AB 于点 G,连接 FG,如图 2,猜想 AG,GF,FC 三者的数量关系,并给出证明;(3)若 AB=6,G 是 AB 的中点,求 BFG 的面积;设 AG=a,CF=b,BFG 的面积记为 S,试确定 S 与 a,b 的关系,并说明理由4已知n组正整数:第一组:3,4,5;第二组:8,6,10;第三组:15,8,17;第四组:24,10,26;第五组:35,12,37;第六组:48,14,50;(1)是否存在一组数,既符合上述规律,且其中一个数为71?若存在,请写出这组数;若不存在,请说明理由;(2)以任意一个大于 2 的偶数为一条直角边的长,是否一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数?若可以,请说明理由;若不可以,请举出反例5如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,ABC,ADE,AFO均为等边三角形,A在y轴正半轴上,点B(6,0),点C(6,0),点D在ABC内部,点E在ABC的外部,AD 3 2,DOE30,OF与AB交于点G,连接DF,DG,DO,OE.(1)求点A的坐标;(2)判断DF与OE的数量关系,并说明理由;(3)直接写出ADG的周长.6如图 1,ABC 和CDE 均为等腰三角形,AC=BC,CD=CE,ACCD,ACB=DCE=a,且点A、D、E 在同一直线上,连结BE.(1)求证:AD=BE.(2)如图 2,若 a=90,CMAE 于 E.若 CM=7,BE=10,试求 AB 的长.(3)如图 3,若 a=120,CMAE 于 E,BNAE 于 N,BN=a,CM=b,直接写出 AE 的值(用 a,b 的代数式表示).7如图,点 A 是射线 OE:yx(x0)上的一个动点,过点A 作 x 轴的垂线,垂足为 B,过点 B 作 OA 的平行线交AOB 的平分线于点 C(1)若 OA52,求点 B 的坐标;(2)如图 2,过点 C 作 CGAB 于点 G,CHOE 于点 H,求证:CGCH(3)若点 A 的坐标为(2,2),射线 OC 与 AB 交于点 D,在射线 BC 上是否存在一点 P使得ACP 与BDC 全等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由在(3)的条件下,在平面内另有三点P1(2,2),P2(2,22),P3(2+2,22),请你判断也满足ACP 与BDC 全等的点是(写出你认为正确的点)8如图,在ABC 中,ACB90,ACBC,AB2,CD 是边 AB 的高线,动点 E 从点 A出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线AC 运动;同时,动点 F 从点 C 出发,以相同的速度沿射线 CB 运动设 E 的运动时间为 t(s)(t0)(1)AE(用含 t 的代数式表示),BCD 的大小是度;(2)点 E 在边 AC 上运动时,求证:ADE CDF;(3)点 E 在边 AC 上运动时,求EDF 的度数;(4)连结 BE,当 CEAD 时,直接写出 t 的值和此时 BE 对应的值9如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,A=60,点E为AD边上一点,连接CE,BD.CE与BD交于点F,且CEAB.(1)求证:CED ADB;(2)若AB=8,CE=6.求BC的长.10如图,一架长 25 米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端离墙7 米(1)此时梯子顶端离地面多少米?(2)若梯子顶端下滑 4 米,那么梯子底端将向左滑动多少米?11(1)如图 1,在RtABC中,ACB90,A 60,CD平分ACB.求证:CA AD BC.小明为解决上面的问题作了如下思考:作ADC关于直线CD的对称图形ADC,CD平分ACB,A点落在CB上,且CACA,AD AD.因此,要证的问题转化为只要证出AD AB即可.请根据小明的思考,写出该问题完整的证明过程.(2)参照(1)中小明的思考方法,解答下列问题:如图 3,在四边形ABCD中,AC平分BAD,BC CD10,AC 17,AD9,求AB的长.12已知ABC中,AB AC.(1)如图 1,在ADE中,AD AE,连接BD、CE,若DAEBAC,求证:BDCE(2)如图 2,在ADE中,AD AE,连接BE、CE,若DAE BAC 60,CE AD于点F,AE4,EC 5,求BE的长;(3)如图 3,在BCD中,CBD CDB 45,连接AD,若CAB 45,求AD的值.AB13如图,ABD为边长不变的等腰直角三角形,AB AD,BAD 90,在ABD外取一点内部,E,以A为直角顶点作等腰直角AEP,其中P在ABDEAP90,AE AP 2,当 E、P、D 三点共线时,BP 7下列结论:E、P、D 共线时,点B到直线AE的距离为5;E、P、D 共线时,SADPSABP 1 3;5SABD=3;2作点A关于绕点BD的对称点C,在AEPA旋转的过程中,PC的最小值为5+2 3 2;AEP绕点A旋转,当点E落在AB上,当点P落在AD上时,取BP上一点N,使得AN BN,连接ED,则AN ED其中正确结论的序号是_14如图,ABC 中 AC=BC,点 D,E 在 AB 边上,连接 CD,CE(1)如图 1,如果 ACB=90,把线段 CD 逆时针旋转 90,得到线段 CF,连接 BF,求证:ACD BCF;若 DCE=45,求证:DE2=AD2+BE2;(2)如图 2,如果 ACB=60,DCE=30,用等式表示 AD,DE,BE 三条线段的数量关系,说明理由15如图,ACB 和ECD 都是等腰直角三角形,ACBECD90,点 D 在边 AB 上,点 E 在边 AC 的左侧,连接 AE(1)求证:AEBD;(2)试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系;(3)过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F,若 BD:AF1:22,CD3 6,求线段 AB的长16如图,在ABC中,BAC90,AB AC,点D是BC上一动点、连接AD,过点A作AE AD,并且始终保持AE AD,连接CE,(1)求证:ABD ACE;(2)若AF平分DAE交BC于F,探究线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;若BD 3,CF 4,求AD的长,117(1)计算:3 12 23482 3;(2)已知 a、b、c 满足|a2 3|3 2 b(c30)2 0判断以 a、b、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,说明此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由18如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k.(1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?(2)已知ABC为优三角形,ABc,AC b,BC a,如图 1,若ACB90,b a,b 6,求a的值.如图 2,若c b a,求优比k的取值范围.(3)已知ABC是优三角形,且ABC120,BC 4,求ABC的面积.19我国古代数学家赵爽曾用图1 证明了勾股定理,这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图 2),其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由 4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形请你根据图1 解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求ab的值.220(知识背景)据我国古代周髀算经记载,公元前1120 年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是 4,那么弦就等于 5,后人概括为“勾三、股四、弦五”像 3、4、5 这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数,称为勾股数(应用举例)观察 3,4,5;5,12,13;7,24,25;可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3 起就没有间断过,并且勾为 3 时,股4 11(91),弦5(91);2211(251),弦13(251);22勾为 5 时,股12 请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:(1)如果勾为 7,则股 24弦 25(2)如果勾用n(n3,且n为奇数)表示时,请用含有n的式子表示股和弦,则股,弦(解决问题)观察 4,3,5;6,8,10;8,15,17;根据应用举例获得的经验进行填空:(3)如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数,a 2m(m表示大于 1 的整数),则b,c,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式(4)请你利用柏拉图公式,补全下面两组勾股数(数据从小到大排列)第一组:、24、:第二组:、37【参考答案】*试卷处理标记,请不要删除一、解答题一、解答题1(1)2,2 3(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据含有 30角的直角三角形的性质可得BC=2,再由勾股定理即可求出AC 的长;(2)由ED为AB垂直平分线可得 DB=DA,在 RtBDE 中,由勾股定理可得 BD=4,可得BD=2BE,故BDE 为 60,即可证明ABD是等边三角形;(3)由(1)(2)可知,AC=2 3,AD=4,进而可求得 CD 的长,再由等积法可得2 212 32 21(4)或373S四边形ACBD SBCD SACD,代入求解即可;(4)分点 P 在线段 AC 上和 AC 的延长线上两种情况,过点E 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q,构造 RtPQE,再根据勾股定理即可求解.【详解】(1)RtABC,ACB90,BAC 30,斜边AB 4,1AB 2,AC AB2BC2=2 3;2(2)ED为AB垂直平分线,ADB=DA,在 RtBDE 中,1BE AE AB 2,DE 2 3,2BC BD BE2 DE2=4,BD=2BE,BDE 为 60,ABD为等边三角形;(3)由(1)(2)可知,AC=2 3,AD=4,CDAC2 AD2=2 7,BCDS四边形ACBD S SACD,111(BC AD)AC AC ADBF CD,2222 21;7BF(4)分点 P 在线段 AC 上和 AC 的延长线上两种情况,如图,过点 E 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q,AE=2,BAC=30,EQ=1,AC=2 3,CQ QA=3,若点 P 在线段 AC 上,则PQ CQ CP=3 PE 23,3 33PQ2 EQ2=2 3;325 3,3 33若点 P 在线段 AC 的延长线上,则PQ CQ CP=3 PE PQ2 EQ2=2 21;3综上,PE 的长为【点睛】2 32 21.或33本题考查勾股定理及其应用、含30的直角三角形的性质等,解题的关键一是能用等积法表示并求出 BF 的长,二是对点 P 的位置要分情况进行讨论.2(1)详见解析;(2)四边形 AGBE 是平行四边形,证明详见解析;)2k 2 k2k 1.3k 3【解析】【分析】(1)只要证明BAEACD;