2021~2022学年高三年级期末试卷
数学试卷
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M={y|y=sin x,x∈R},N={y|y=2x,x∈R),则M∩N=( )
A. [-1,+∞) B. [-1,0) C. [0,1] D. (0,1]
2. 在等比数列{an}中,公比为q.已知a1=1,则0
0,β>0),则tan α+tan β的最小值为( )
A. B. 1 C. -2-2 D. -2+2
8. 已知f(x)=则当x≥0时,f(2x)与f(x2)的大小关系是( )
A. f(2x)≤f(x2) B. f(2x)≥f(x2)
C. f(2x)=f(x2) D. 不确定
二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 若函数f(x) =cos 2x+sin x,则关于f(x)的性质说法正确的有( )
A. 偶函数 B. 最小正周期为π
C. 既有最大值也有最小值 D. 有无数个零点
10. 若椭圆C:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,则下列b的值能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有( )
A. b= B. b= C. b=2 D. b=
11. 若数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1,记在数列{an}的前n+2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为Pn,则( )
A. P1= B. P2ncos D,AB=6,AC=BD=4,CD=2,若________,求△ABC的面积.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的通项公式为an=2n+4,数列{bn}的首项为b1=2.
(1) 若{bn}是公差为3的等差数列,求证:{abn}也是等差数列;
(2) 若{abn}是公比为2的等比数列,求数列{bn}的前n项和.
19. (本小题满分12分)
佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现,某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据:
年度
2018
2019
2020
2021
年度序号x
1
2
3
4
不戴头盔人数y
1 250
1 050
1 000
900
(1) 请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程y=bx+a,并估算该路口2022年不戴头盔的人数;
(2) 交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人,分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系,得到下表,能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?
不戴头盔
戴头盔
伤亡
7
3
不伤亡
13
27
参考公式和数据:
K2=,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
20. (本小题满分12分)
在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=13,AB=8,BC=6,AB⊥BC,AB1=B1C,D为AC中点,平面AB1C⊥平面ABC.
(1) 求证:B1D⊥平面ABC;
(2) 求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值.
21. (本小题满分12分)
设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,虚轴长为,两准线间的距离为.
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.
22. (本小题满分12分)
设函数f(x)=-3ln x+x3+ax2-2ax,a∈R.
(1) 求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2) 若x1,x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点,设P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)),记直线PQ的斜率为k,求证:k+2cos D,A∈(0,π),D∈(0,π),∴A3.841.(9分)
而P(K2≥3.841)=0.05,
故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.(12分)
20. (1) 证明:∵ AB1=B1C,D为AC中点,∴ B1D⊥AC,(2分)
∵平面AB1C⊥平面ABC,平面AB1C∩平面ABC=AC,B1D⊂平面AB1C,
∴ B1D⊥平面ABC.(5分)
(2) 解:(解法1:向量法)在平面ABC内过点D分别作AB,BC的平行线,交AB,BC于点E,F.
由(1)知B1D⊥平面ABC,AB⊥BC,以{,,DB1}为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(7分)
∵ AB=8,BC=6,∴ AC=10,BD=5.
∵ AA1=BB1=13,∴ B1D=12,
得D(0,0,0),A(3,-4,0),B(3,4,0),C(