第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结 一．解答题（共16小题） 1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、． （1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程． 2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程； （Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率． 4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点． （1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标： （2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点． （1）求椭圆的离心率； （2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程． 6．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知椭圆经过点，离心率． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为． （1）求椭圆的方程； （2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围． 9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足， （1）求抛物线的方程； （2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点． （1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长； （2）若，求直线的方程； （3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果） 11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值． 13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整． （1）圆上点，处的切线方程为 　　．理由如下：　　． （2）椭圆上一点，处的切线方程为； （3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 　　．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程； （4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得， 化简得△得． 若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 　　． （5）抛物线上一点，处的切线方程为； （6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上． 15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点． （1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？ （2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． （3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点． （4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值． （5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值． （6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由． （7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示． （1）求抛物线的焦点坐标； （2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标； （3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由． 第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结 参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、． （1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程． 【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为、， 短轴的两个端点分别是、，△为等边三角形， ，解得， 椭圆的标准方程为． （2）椭圆的短轴长为2，椭圆的两个焦点分别为、， 椭圆的标准方程为， 过点直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点， 当直线的斜率不存在时，直线为，此时以为直径的圆不经过点，不成立； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由，得． 设，，，，则 ，， ，，，， 过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点， ，， ，解得，即． 故直线的方程为或． 2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程； （Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作 轴，垂足为，则， ， ，化为． 当时，也满足上式． 动圆圆心的轨迹的方程为． （Ⅱ）设，，， 由题意可知，，． 轴是的角平分线，， ，，化为． 直线的方程为， ，化为， 化为， ，令，则， 直线过定点 3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率． 【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为， 依题意，， 又，可得，，， 所以，椭圆的方程为． （2）由题意，设，，，， 设直线的斜率为， 又，则直线的方程为， 与椭圆方程联立整理得， 可得，代入得， 进而直线的斜率， 在中，令，得，即， 所以直线的斜率为， 由，得，化简得， 从而． 所以，直线的斜率为或． 4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点． （1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标： （2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标， 则，抛物线的标准方程为，焦点． （2）设，，，，，，，， 由，得点在直线上，且， 且四边形的面积． ， 由，得， 则， ， 因为，所以， 由，的斜率分别为，由图知必过点， 可设，且， 故直线，令， 则直线，代入椭圆方程， 得， ， ， 点 到的距离， 四边形的面积， 当且仅当时，面积最大为． 5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点． （1）求椭圆的离心率； （2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程． 【解答】解：（1）由椭圆过点，则，① 连接，由为线段的中点，为线段的中点， 则，则， 由，② 由①②得，， 则椭圆的离心率； （2）由（1）椭圆与方程，直线的斜率， 不妨设直线的方程，设，，，， ，整理得：， 则△，解得：， ，， ， 由到的距离， 则的面积， 当且仅当时，取等号，即， 则直线的方程． 6．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，则①， 又过点，所以，解得， 由①可得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，点，设，，，， 联立方程组，可得， 所以， 所以， ， 因为，所以， 整理可得，， 所以， 化简整理可得，， 解得或， 若，则过点，则，与点重合，不符合题意， 所以， 故存在定值，使当变化时总成立． 7．如图，已知椭圆经过点，离心率． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①② 由①②得，，， 故椭圆的标准方程为．（4分） （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在， 设的斜率为，则直线的方程为③．（5分） 代入椭圆方程， 整理得．（6分） 设，，，， 则有④．（7分） 在方程③中，令得，，从而，，．（9分） 又因为、、共线，则有， 即有， 所以 ⑤ 将④代入⑤得，（12分） 又， 所以，即，，成等差数列．．（13分） 8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为． （1）求椭圆的方程； （2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）由已知有，又，可得， 设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得，， 故所求的椭圆方程为； （2）设点的坐标为，直线的斜率为， 联立消去整理， 可解得或． 再设直线的斜率为， 再联立 ①当时，故得 ②当时，故得 综上直线的斜率的取值范围． 9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足， （1）求抛物线的方程； （2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上， 所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：； （2）设，，，，，，则，， 直线的斜率， 则直线的方程为：，即①， 同理可得直线的方程整理可得②， 将，分别代入①，②的方程可得，消可得， 易知直线，则直线的方程为：， 即，故