2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县兰溪中学九年级(上)期中数学试卷
1. 一元二次方程x2+8x−9=0配方后得到的方程是( )
A. (x−4)2+7=0 B. (x+4)2=25 C. (x−4)2=25 D. (x+4)2−7=0
2. 三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2−13x+36=0的两根中的其中一根,则该三角形的周长为( )
A. 13 B. 15 C. 18 D. 13或18
3. 已知抛物线y=a(x−2)2+k(a>0,a,k为常数),A(−3,y1)B(3,y2)C(4,y3)是抛物线上三点,则
y1,y2,y3由小到大依序排列为( )
A. y10;②2a+b<0;③4a−2b+c=0;④a+b+c>0.其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
10. 二次函数y=x2−2x+3的最小值是______ .
11. 若一元二次方程x2−6x−5=0的两根分别为x1,x2,则两根的和x1+x2=______.
12. 已知二次函数y=(x+2)2+h,当x ______时,y随x的增大而减小.
13. 一元二次方程x2−6x−1=0的解是______.
14. 把抛物线y=2x2先向下平移1个单位,再向左平移2个单位,得到的抛物线的解析式是______.
15. 二次函数y=x2−bx+1的顶点在x轴上,则b=______.
16. 如图,将边长为3cm的正方形ABCD绕顶点B逆时针旋转30°得到正方形EBCF,则两个图形重叠部分(阴影部分)的面积为______cm2.
17. 如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为______.
18. 如图,BC为⊙O的直径,AB交⊙O于点E,AC交⊙O于点D,AD=CD,∠A=70°,则∠BOE的度数是______.
19. 汽车产业的发展,有效促进了我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1000万元,2018年盈利1440万元,且从2016年到2018年,每年盈利的年增长率相同.
(1)求每年盈利的年增长率;
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2019年盈利多少万元?
20. 如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
21. 已知二次函数y=−x2+2x+k+2的图象与x轴有两个交点.
(1)求k的取值范围.
(2)当k=1时,求抛物线与x轴的交点A和B的坐标.
22. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,0),C(0,3).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程;
(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象,并根据图象在抛物线的对称轴找点P,使得△ACP周长最短(直接写出点P的坐标).
23. 商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场每天可多售出2件,设每件商品降低x元据此规律,请回答:
(1)商场日销售量增加______件,每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)
(2)在上述条件不变,销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元?
24. 如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的大小.
25. 某公司电商平台在2021年五一长假期间,举行了商品打折促销活动,经市场调查发现,某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,下表仅列出了该商品的售价x、周销售量y、周销售利润W(元)的三组对应值数据.
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)若该商品进价为a(元/件),售价x为多少时,周销售利润W最大?并求出此时的最大利润.
26. 如图1,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,∠M=∠D.
(1)判断BC,MD的位置关系,并说明理由;
(2)若AE=16,BE=4,求线段CD的长;
(3)如图2,若MD恰好经过圆心O,求∠D的度数.
27. 在平面直角坐标系中,抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若点P是第一象限内抛物线上的一动点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:把方程x2+8x−9=的常数项移到等号的右边,得到x2+8x=9,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2+8x+16=9+16,
配方得(x+4)2=25.
故选B.
在本题中,把常数项−9移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方.
本题考查了解一元二次方程--配方法.配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
2.【答案】A
【解析】解:解方程x2−13x+36=0得,
x=9或4,
即第三边长为9或4.
边长为9,3,6不能构成三角形;
而4,3,6能构成三角形,
所以三角形的周长为3+4+6=13,
故选:A.
先求出方程x2−13x+36=0的两根,再根据三角形的三边关系定理,得到符合题意的边,进而求得三角形周长即可.
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系,求三角形的周长,解题的关键是检验三边长能否组成三角形.
3.【答案】C
【解析】解:抛物线y=a(x−2)2+k(a>0,a,k为常数)的对称轴为直线x=2,
所以A(−3,y1)到直线x=2的距离为5,B(3,y2)到直线x=2的距离为1,C(4,y3)到直线的距离为2,
所以y20,a,k为常数)的对称轴为直线x=2,然后二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断.
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.
4.【答案】B
【解析】解:由二次函数的图象可知,
∵−5≤x≤0,
∴当x=−2时函数有最大值,y最大=6;
当x=−5时函数值最小,y最小=−3.
故选:B.
直接根据二次函数的图象进行解答即可.
本题考查的是二次函数的最值问题,能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:如图,将△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△OA1B1,
过点A1作A1 C⊥y轴于点C,
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,点B的坐标是(−23,2),
∴OA=23,AB=2,
∴∠AOB=30°,OB=4,
∴∠B=60°,
将△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△OA1B1,
∴∠A1B1C=60°,A1B1=AB=2,OB1=OB=4,
∴B1C=1,A1C=3,
∴OC=OB1−B1 C=3,
∴A1 (−3,3).
故选:B.
根据在Rt△OAB中,∠OAB=90°,点B的坐标是(−23,2),可得OA=23,AB=2,再根据△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△OA1B1,过点A1作A1 C⊥y轴于点C,可求得点A1 的坐标.
本题考查了坐标与图形变化−旋转,解决本题的关键是掌握旋转的性质.
6.【答案】D
【解析】解:由点P(a,b)关于原点对称得到点P1,得P1(−a,−b),
将点P1向左平移2个单位长度得到点P2,则点P2的坐标是(−a−2,−b),
故选:D.
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,点的坐标向左平移减,可得答案.
本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
7.【答案】C
【解析】解:∵∠ACB=54°,
∴圆心角∠AOB=2∠ACB=108°,
∵OB=OA,
∴∠ABO=∠BAO=12×(180°−∠AOB)=36°,
故选:C。
根据圆周角定理求出∠AOB,根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO,根据三角形内角和定理求出即可.
本题考查了圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系,等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点,能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:∵AC=BC,∠BDC=50°,
∴∠ABC=50°,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ADC=180°−∠ABC=130°.
故选B.
根据AC=BC,∠BDC=50°得到∠ABC,然后利用圆内接四边形的性质得到结果.
本题考查圆周角定理,以及圆内接四边形的性质.
9.【答案】D
【解析】解:由图可知,
函数图象与x轴有两个交点,∴b2−4ac>0,故①正确;
−b2a=1,可得,2a+b=0,故②错误;
当x=−2时,y=4a−2b+c<0,故③错误;
当x=1时,y=a+b+c>0,故④正确;
故选:D.
①根据函数图象与x轴的交点可以解答本题;
②根据对称轴的横坐标可以解答本题;
③当x=−2时,看函数图象所对应的y值,可以解答本题;
④当x=1时,看函数图象所对应的y值,可以解答本题.
本题考查二次函数图象与系数的关系,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
10.【答案】2
【解析】解:∵二次函数y=x2−2x+3可化为y=(x−1)2+2