2022-2023学年湖北省武汉市武昌区八校联考九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 将一元二次方程5x2−1=4x化成一般形式后,二次项的系数和一次项系数分别是( )
A. 5,−1 B. 5,4 C. 5,−4 D. 5,1
2. 下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
4. 将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,抛物线的解析式为( )
A. y=(x+2)2+3 B. y=(x−2)2+3 C. y=(x+2)2−3 D. y=(x−2)2−3
5. 如图,点C是⊙O的优弧AB上一点,∠AOB=80°,则∠ACB的度数为( )
A. 40°
B. 140°
C. 80°
D. 60°
6. 如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为( )
A. 10×6−4×6x=32 B. 10×6−4x2=32
C. (10−x)(6−x)=32 D. (10−2x)(6−2x)=32
7. 关于抛物线y=12(x−1)2+2下列描述正确的是( )
A. 对称轴为直线x=−1 B. 最大值为y=2
C. 图象与坐标轴有且只有一个交点 D. 当x≤2时,y随x的增大而增大
8. 在练习掷铅球项目时,某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑,则该铅球的直径为( )
A. 132cm B. 6cm C. 152cm D. 8cm
9. 已知二次函数y=x2−2022x+2的图象上有两点A(a,1)和B(b,1),则a2−2022b+1的值等于( )
A. 0 B. −2022 C. 2022 D. −1
10. 如图,已知∠P=45°,角的一边与⊙O相切于A点,另一边交⊙O于B、C两点,⊙O的半径为10,AC=22,则AB的长度为( )
A. 42
B. 6
C. 27
D. 5
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11. 点A(−1,2)关于原点对称点B的坐标是______.
12. 关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根,则a的取值范围是______.
13. 已知点A(2,y1),B(0,y2),C(−3,y3)在二次函数y=x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为______.
14. 圆锥的底面直径是8cm,母线长9cm,则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ .
15. 已知⊙O的两条弦为AB、AC,连接半径OA、OB、OC,若AC=2AB=2OA,则∠BOC的度数为______.
16. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),其图象经过点A(2,0),坐标原点为O.
①若b=−2a,则抛物线必经过原点;
②若c≠4a,则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点;
③若抛物线与x轴交于点B(不与A重合),交y轴于点C且OB=OC,则a=−12;
④点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,若当x1>x2>−1时,总有y1>y2,则8a+c≤0.
其中正确的结论是______(填写序号).
三、解答题(本大题共8小题,共64.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题8.0分)
解方程:x2−4x−1=0.
18. (本小题8.0分)
如图,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,使得点D落在线段AC上.若AC=BC,求证:BE//AC.
19. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中,已知二次函数解析式为y=ax2+bx+c.
(1)完成表格并直接写出函数的顶点坐标为______.
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
−4
−6
______
______
…
(2)若−20,
所以方程有两个不相等的实数根.
故选:B.
先计算判别式得到△=(−2)2−4×(−1)=8>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
4.【答案】B
【解析】解:∵将抛物线y=x2向上平移3个单位再向右平移2个单位,
∴平移后的抛物线的解析式为:y=(x−2)2+3.
故选:B.
直接利用抛物线平移规律:上加下减,左加右减进而得出平移后的解析式,即可得出解析式.
此题主要考查了二次函数图象的平移变换,正确掌握平移规律是解题关键.
5.【答案】A
【解析】解:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB=80°,
∴∠ACB=40°,
故选:A.
根据圆周角定理求解即可.
此题考查了圆周角定理,熟记圆周角定理是解题的关键.
6.【答案】D
【解析】解:设剪去的小正方形边长是xcm,则做成的纸盒的底面长为(10−2x)cm,宽为(6−2x)cm,
依题意,列方程得:(10−2x)(6−2x)=32.
故选:D.
设剪去的小正方形边长是xcm,则做成的纸盒的底面长为(10−2x)cm,宽为(6−2x)cm,根据长方形的面积公式,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】解:(1)从函数的表达式看,抛物线的对称轴为直线x=1,故A错误,不符合题意;
(2)a=12>0,抛物线有最小值,不存在最大值,故B错误,不符合题意;
(3)抛物线顶点坐标为(1,2),开口向上,故抛物线和x轴没有交点,只和y轴有一个交点,故C正确,符合题意;
(4)当x≤2时,此时抛物线在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故D错误,不符合题意.
故选:C.
根据函数的图象和性质逐个求解即可.
本题考查的是二次函数的性质,熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.
8.【答案】A
【解析】解:如图,由题意知,AB=6cm,CD=2cm,OD是半径,且OC⊥AB,
∴AC=CB=12AB=3(cm),
设铅球的半径为r cm,则OC=(r−2)cm,
在Rt△AOC中,根据勾股定理得:OC2+AC2=OA2,
即(r−2)2+32=r2,
解得:r=134,
则铅球的直径为:2r=132(cm),
故选:A.
由题意画出图形,设出未知数,由勾股定理列出方程,解方程,即可解决问题.
本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用,熟练掌握垂径定理,由勾股定理得出方程是解题的关键.
9.【答案】A
【解析】解:∵二次函数y=x2−2022x+2的图象上有两点A(a,1)和B(b,1),
∴a2−2022a+2=1,
∴a2−2022a=−1,
把y=1代入y=x2−2022x+2得,x2−2022x+1=0,
∵二次函数y=x2−2022x+2的图象上有两点A(a,1)和B(b,1),
∴a,b是方程x2−2022x+2=1的两个根,
∴ab=1,
∴a=1b,
∴a2−2022b+1=a2−2022a+1=−1+1=0.
故选:A.
由题意可得a、b是方程x2−2022x+2=1的两个根,则有ab=1即