2022-2023学年山东省济宁市任城区九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知点(2,3)在反比例函数y=kx的图象上,则该图象一定不经过的点是( )
A. (1,6) B. (−6,1) C. (32,4) D. (−1,−6)
2. tan45°的值等于( )
A. 2 B. 1 C. 22 D. 33
3. 抛物线y=12(x−2)2−3的顶点坐标是( )
A. (2,3) B. (2,−3) C. (−2,3) D. (−2,−3)
4. 已知二次函数y=2x2−4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( )
A. x<1 B. x>1 C. x<2 D. x>2
5. 将抛物线y=x2−2x+3向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度后,得到的抛物线表达式是( )
A. y=x2+2 B. y=(x+1)2+3 C. y=(x+1)2+1 D. y=(x−3)2+1
6. 如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:2,坡高BC=2m,则迎水坡宽度AC的长为( )
A. 22m
B. 4m
C. 23m
D. 6m
7. 如图,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是( )
A. 31010 B. 12 C. 13 D. 1010
8. 已知实数a,b满足b−a=1,则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
9. 如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他做了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=a;
(2)量得测角仪的高度CD=a;
(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.
利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( )
A. a+btana B. a+bsina C. a+btana D. a+bsinα
10. 函数y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图,点P是y=4x的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=1x的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=1x的图象于点B.给出如下结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;
②PA与PB始终相等;
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;
④CA=13AP.
其中所有正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11. 已知反比例函数的图象经过点(3,4),则该函数表达式为______.
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanB=______.
13. 某同学用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:则该二次函数在x=3时,y=______.
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−6.5
−4
−2.5
−2
−2.5
…
14. 一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m时,拱顶距离水面是2m.当水面下降1m后,水面宽度是______m.(结果保留根号)
15. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−1,0)和点(2,0),以下结论:①abc<0;②4a−2b+c<0;③a+b=0;④当x<12时,y随x的增大而减小.其中正确的结论有______.(填写代表正确结论的序号)
三、解答题(本大题共7小题,共55.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题6.0分)
计算:
(1)6tan230°−3sin60°−2tan45°;
(2)sin60°cos60°+sin45°cos45°−sin30°cos30°.
17. (本小题7.0分)
已知二次函数y=x2+mx+m2−3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
18. (本小题7.0分)
在Rt△ABC中,∠C=90°,已知BC=12,AC=43,求∠A,∠B,AB的大小.
19. (本小题7.0分)
如图,为了测量河流某一段的宽度,在河北岸选了一点A,在河南岸选了相距100m的B,C两点.现测得∠ABC=60°,∠ACB=45°,求这段河流的宽度(结果精确到0.1m).
20. (本小题9.0分)
阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃,花圃的一边利用20米长的院墙,另三边用总长为32米的离笆恰好围成.如图,设AB边的长为x米,矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.
21. (本小题8.0分)
如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax−3a(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=kx(x>0)的一个交点为C,且BC=12AC.
(1)求点A的坐标;
(2)当S△AOC=3时,求a和k的值.
22. (本小题11.0分)
已知抛物线y=−x2+2x+m.抛物线过点A(3,0),与x轴的另一个交点为C.与y轴交于点B.直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P.
(1)求抛物线的解析式及点B,C的坐标;
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D,且S△ABD=12S△ABC,求点D的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,3),
∴k=2×3=6,
∵−6×1=−6≠6,
∴该图象一定不经过的点是(−6,1).
故选:B.
将A(2,3)代入y=kx,求出k的值,再根据k=xy对各项进行逐一检验即可.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,只要点在函数的图象上,则一定满足函数的解析式.反之,只要满足函数解析式就一定在函数的图象上.
2.【答案】B
【解析】解:tan45°的值等于1,
故选:B.
根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.
本题考查了特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了二次函数顶点式的性质:抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k),已知解析式是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标.
【解答】
解:因为y=12(x−2)2−3是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,−3).
故选B.
4.【答案】B
【解析】解:∵y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴x>1时,y随x增大而增大,
故选:B.
将二次函数解析式化为顶点式,由抛物线对称轴及开口方向求解.
本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.
5.【答案】C
【解析】解:∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2,
∴将抛物线y=x2−2x+3向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度后,得到的抛物线表达式是:y=2(x−1+2)2+2−1,即y=(x+1)2+1.
故选C.
直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
6.【答案】A
【解析】解:迎水坡AB的坡比是1:2,即tan∠A=12,
则BCAC=12,
又∵BC=2米,
∴AC=2BC=22(米).
故选:A.
由堤高BC=2米,迎水坡AB的坡比1:2,根据坡度的定义,即可求得AC的长.
此题考查了坡度坡角问题,注意理解坡度的定义是解此题的关键.
7.【答案】D
【解析】解:过点B作BC⊥AO于点C,
∵AB=2,
∴由勾股定理可知:AO=25,BO=22,
设CO=x,
∴(22)2−x2=22−(25−x)2,
∴8−x2=4−(20−45x+x2),
解得:x=655,
∴cos∠AOB=COBO=31010,
∴sin∠AOB=1010,
故选:D.
过点B作BC⊥AO于点C,根据勾股定理可求出AO=25,BO=22,设CO=x,再由勾股定理可求出x的值,从而可∠AOB的正弦值.
本题考查解三角形,解题的关键是熟练运用勾股定理,本题属于基础题型.
8.【答案】A
【解析】解:∵b−a=1,
∴b=a+1,
∴a2+2b−6a+7
=a2+2(a+1)−6a+7
=a2+2a+2−6a+7
=a2−4a+4+5
=(a−2)2+5,
∴代数式a2+2b−6a+7的最小值等于5,
故选:A.
由题意得b=a+1,代入代数式a2+2b−6a+7可得(a−2)2+5,故此题的最小值是5.
此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力,关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算.
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题,掌握仰角俯角的定义,并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键.
过C作CF⊥AB于F,则四边形BFCD是矩形,根据三角函数的定义即可得到结论.
【解答】
解:过C作CF⊥AB于F,则四边形BFCD是矩形,
∴BF=CD=a,CF=BD=b,
∵∠ACF=a,
∴tana=AFCF=AFb,
∴AF=b⋅tana,
∴AB=AF+BF=a+btana,
故选A.
10.【答案】C
【解析】解:∵A、B是反比函数y=1x上的点,
∴S△OBD=S△OAC=12,故①正确;
当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误;
∵P是y=4x的图象上一动点,
∴S矩形PDOC=4,
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC−S△ODB--S△OAC=4−12−12=3,故③正确;
连接OP,
∴S△POCS△OAC=PCAC=212=4,
∴AC=14PC,PA=34PC,
∴PAAC=3,
∴AC=13AP;故④正确;
综上所述,正确的结论有①③④.
故选:C.
由于A、B是反比函数y=1x上的点,可得出S△OBD=S△OAC=12,故①正确;当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误;根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值,故③正确;连接PO,根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论.
本题考查的是反比例函数综合题,熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键.
11.【答案】y=12x
【解析】解:设反比例函数为y=kx(k≠0),
∵反比例函数的图象经过点(3,4),
∴4=k3,
∴k=12,
∴反比例函数的解析式为y=12x.
故答案为:y=12x.
运用待定系数法求出函数的解析式即可.
考查反比例函数的解析式,关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式.
12.【答案】43
【解析】解:∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC=52−32=4,
∴tanB=ACBC=43.
故答案为:43.
先根据勾股定理求出BC的长,然后根据正切的定义求解.
本题考查了锐角三角函数的定义:正确理解正切的定义是解决问题的关键.
13.【答案】−4
【解析】解:由表中数据得,抛物线的对称轴为直线x=1,
∴点(−1,−4)关于直线x=1的对称点为(3,−4),
∴当x=3时,y=−4.
故答案为−4.