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2022-2023学年山东省聊城市高唐县九年级(上)期中数学试卷 1. 下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则在网格图中的三角形与△ABC相似的是( ) A. B. C. D. 2. 如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA:AD=2:3,则△ABC与△DEF的周长比是( ) A. 2:3 B. 4:9 C. 2:5 D. 4:25 3. 如图,D,E分别在△ABC的两边AB,AC上,若DE//BC,则下列成立的是( ) A. ADBD=CEAE B. ADBD=DEBC C. ABBD=ACCE D. ADAB=CEAC 4. 如图,点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,使得△ADB∽△ABC,下列不正确的是( ) A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. ABAC=BDCB D. ADAB=ABAC 5. 河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是( ) A. 53米 B. 10米 C. 15米 D. 103米 6. 如图,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B,取∠ABD=145°,BD=500m,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是( ) A. 500sin55°m B. 500cos55°m C. 500tan55°m D. 500cos55∘m 7. 如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是( ) A. BDBC B. BCAB C. ADAC D. CDAC 8. 如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于( ) A. 255 B. 55 C. 2 D. 12 9. 如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP<2,则弦AB所对的圆周角的度数是( ) A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或150° 10. 如图,圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE与圆O相切于E点.若圆O的半径为5,且AB=11,则DE的长度为何?( ) A. 5 B. 6 C. 30 D. 112 11. 如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AC经过点O,与⊙O分别相交于点D,C.若∠ACB=30°,AB=3,则阴影部分的面积是 A. 32 B. π6 C. 32−π6 D. 33−π6 12. 如图,⊙O的半径为2,AB、CD是互相垂直的两条直径,点P是⊙O上任意一点(P与A、B、C、D不重合),经过P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径长为( ) A. π4 B. π2 C. π6 D. π3 13. 秋天红透的枫叶,总能牵动人们无尽的思绪,所以诗人杜牧说:“停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案,则x的值为 . 14. 如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC=______ 度. 15. 如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠C=110°,则∠BOD=______度. 16. 如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°=______. 17. 如图,正方形ABCD中,P为AD上一点,PE⊥BP交BC的延长线于点E,交CD于点F,若AB=6,AP=4,则CE的长为______. 18. 计算: (1)sin260°+cos260°−tan45°; (2)|−12|+8−4cos45°+2sin30°. 19. 如图,△ABC在方格纸中. (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使A(3,4),C(7,3),并求出点B的坐标; (2)以原点O为位似中心,位似比为2,在第一象限内将△ABC放大,画出放大后的位似图形△A′B′C′; (3)计算△A′B′C′的面积S. 20. 如图,点D在△ABC的边BC上,∠ADC+∠BAC=180°,AB=4,BC=8,求BD的长. 21. 如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°. (1)求证:BD=CD; (2)若圆O的半径为3,求BC的长. 22. 如图,一条城际铁路从A市到B市需要经过C市,A市位于C市西南方向,与C市相距40在千米,B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处.因打造城市经济新格局需要,将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路,求新铺设的铁路AB的长度.(结果保留根号) 23. 如图,点A、B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D. (1)AC与CD相等吗?为什么? (2)若AC=2,AO=5,求OD的长度. 24. 已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求: (1)坡顶A到地面PO的距离; (2)古塔BC的高度(结果精确到1米). (参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01) 25. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F. (1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)如果AB=5,BC=6,求DE的长. 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解:根据勾股定理,AB=22+22=22,BC=2, 所以,夹直角的两边的比为222=2, 观各选项,只有B选项三角形符合,与所给图形的三角形相似. 故选:B. 可利用正方形的边把对应的线段表示出来,利用三边对应成比例两个三角形相似,分别计算各边的长度即可解题. 此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法,本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键. 2.【答案】C 【解析】解:∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形. ∴△ABC和△DEF的位似比为OA:OD, ∵OA:AD=2:3, ∴OA:OD=2:5, ∴△ABC与△DEF的周长比是2:5. 故选:C. 先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA:OD,再利用比例性质得到OA:OD=2:5,然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解. 本题考查了位似变换.位似变换的两个图形相似.相似比等于位似比. 3.【答案】C 【解析】解:∵DE//BC, ∴ADBD=AECE,所以A选项不符合题意; ∴△ADE∽△ABC, ∴ADAB=DEBC,所以B选项不符合题意; ∴ABBD=ACCE,所以C选项符合题意; ADAB=AEAC,所以D选项不符合题意. 故选:C. 先根据平行线分线段成比例可对A进行判断;再证明△ADE∽△ABC,则可根据相似三角形的性质对B进行判断;然后根据比例的性质对C、D进行判断. 本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算. 4.【答案】C 【解析】解:A、若∠ABD=∠C,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意; B、若∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意; C、若ABAC=BDCB,其夹角不相等,则不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意; D、若ADAB=ABAC,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意. 故选:C. 利用相似三角形的判定方法依次判断即可. 本题考查了相似三角形的判定.证明三角形相似是解题的关键. 5.【答案】A 【解析】解:Rt△ABC中,BC=5米,tanA=33; ∴AC=BC÷tanA=53米; 故选:A. Rt△ABC中,已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比,通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长. 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及对三角函数的运用能力. 6.【答案】B 【解析】解:在直角△BDE中,cosD=DEBD, ∴DE=BD⋅cosD=500cos55°. 故选:B. 根据已知利用已知角的余弦函数表示即可. 此题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键. 7.【答案】C 【解析】解:∵AC⊥BC,CD⊥AB, ∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD, ∴∠α=∠ACD, ∴cosα=cos∠ACD=BDBC=BCAB=DCAC, 只有选项C错误,符合题意. 故选:C. 利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD,进而利用锐角三角函数关系得出答案. 此题主要考查了锐角三角函数的定义,得出∠α=∠ACD是解题关键. 8.【答案】D 【解析】解:∵∠DAB=∠DEB, ∴tan∠DAB=tan∠DEB=12. 故选:D. 根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解. 此题主要考查了圆周角定理(同弧或等弧所对的圆周角相等)和正切的概念,正确得出相等的角是解题关键. 9.【答案】C 【解析】解:作OD⊥AB于D, ∵点P是弦AB上的动点,且1≤OP<2, ∴OD=1, ∴∠OAB=30°, ∵OA=OB, ∴∠OBA=∠OAB=30°, ∴∠AOB=120°, ∴∠AEB=12∠AOB=60°, ∵∠E+∠F=180°, ∴∠F=120°, 即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°, 故选:C. 作OD⊥AB,如图,利用垂线段最短得OD=1,则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°,根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,则可根据圆周角定理得到∠AEB=12∠AOB=60°,根据圆内接四边形的性质得∠F=120°,求出弦AB所对的圆周角的度数. 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系. 10.【答案】B 【解析】解: 设圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切的切点分别为N、M, 连接OM、ON, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB=11,∠A=90°, ∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切, ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A, ∵OM=ON, ∴四边形ANOM是正方形, ∴AM=OM=5, ∵AD和DE与圆O相切,圆O的半径为5, ∴AM=5,DM=DE, ∴DE=11−5=6, 故选:B. 求出正方形ANOM,求出AM长,根据DE=DM求出即可. 本题考查了正方形的性质和判定,切线的性质,切线长定理等知识点的应用. 11.【答案】C 【解析】解:连接OB. ∵AB是⊙O切线, ∴OB⊥AB, ∵OC=OB,∠C=30°, ∴∠C=∠OBC
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