椭圆及其标准方程教师版
椭圆及其标准方程
x2y2
1.已知F1,F2是椭圆2 2 l(a b 0)的左、右焦点,点P是椭圆上的点,I是
ab
AF1PF2内切圆的圆心,直线PI交x轴于点虬则| PI | : | IM |的值为()A.
caab
B. C. D. acba
【答案】B【解析】
试题分析:F1PF2内切圆的圆心I是内角平分线的交点,因此F1I是PF1F2的平分 线,F2I是PF2F1的平分线,由角平分线定理知
PIIM
PF1F1M
PF2F2M
,考虑到椭圆
的定义及比例性质,
PIIM
PF1F1M
PF2F2M
PF1 PF2F1M F2M
2aa . 2cc
考点:角平分线性质及椭圆的定义.
2.椭圆4x 9y 144内的一点P(3, 2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在的 直线方程()
A. 3x 2y 12 0 B. 2x 3y 12 0 C. 4x 9y 144 0 D. 9x 4y 144 0 案】B.【解析】
试题分析:设弦的两端点坐标为A(xl,yl),B(x2,y2),因为点P是中点, xl x2=6,
22
yl y24(xl x2)2 4x1 9yl 144
yl y2=4.又因为2 ,两式相减可得.2
xl x29(yl y2)3 4x2 9y2 144
22
即直线的斜率为
所以
2
,所以所求的直线为2x 3y 12 0.故选B.本题的解题采用点差3
法求出斜率是突破口.
考点:1.线段的中点公式.2.点差法的应用.3.直线方程的表示.
x2y2 xy M x 13.已知集合 ,N y 1 ,则()
4 32 9
A.
B. (3,0), (2,0)
C. [ 3, 3] D. 3, 2
【答案】C
【解析】
试题分析:集合M=[-3, 3],N=R,所以M N [ 3,3],故选C.
试卷第1页,总34页
考点:1.椭圆方程的性质;2.集合的运算.
4. 若直线mx ny 4和00 : x y 4相离,则过点(m, n)的直线与椭圆22
x2y2
1的交点个数为()94
A.至多一个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】试题分析:由题意可得,4
m2 n2 2,则m2 n2 4,所以点P(m, n)在以原点
为圆心,以2为半径的圆内的点,而椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2,所以圆
m2 n2 4内切于椭圆,即点P在椭圆内,所以过点P的直线与椭圆一定相交,它们的公 共点的个数为2,故选B.
考点:本题要求学生掌握直线与圆的位置关系,会用点到直线的距离公式化简求值,以 及掌握椭圆的简单性质,考查了数形结合的思想方法.
x2y2
5. 椭圆 1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过Fl,若ABF2的内切圆周2516
长为,A,B两点的坐标分别为(xl,yl)和(x2,y2),则y2 yl的值为()A. 510205 B.
C. D. 3333
【答案】D
【解析】
试题分析:由椭圆的标准方程可得:因为ABF2的内切圆周长为,a 5,b 4, c 3,
1,则根据三角形内切圆半径R和周长L与三角形的面2
111积S的关系有S LR,所以ABF2的面积为4 5 5,而ABF2的面积又222
1 等于 AF1F2 和 BF1F2 之和,即 |y2 yl | |F1F2| 3|y2 yl| ,所以 2
53|y2 yl 5,则y2 yl ,故选D. 3所以ABF2的内切圆的半径为
考点:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,工角形内切圆性 质,本题的关键是求出^ABF?的面积,并考查了数形结合的思想方法.
x2
26.椭圆+y=l上的点到直线2x—y=7距离最近的点的坐标为()2
A. (-4141417417, ) B. (, -) C. (一,)D. (, -) 33333333
【答案】B
【解析】试卷第2页,总34页
试题分析:设和椭圆相切且和直线平行的直线为y 2x b,联立椭圆方程得
9x2 8bx 2b2 2 0,因为直线和椭圆相切,所以
64b2 36 2b2 2 0, b 3,由图可知b 3,直线为y 2x 3,解得切点
坐标为 41 , ,此点就是所求点,故选B.
33
考点:椭圆和直线.
x2y2
7.已知椭圆E: 2+2 = 1 (a>b>0)的右焦点为F(3, 0),过点F的直线交E于A, baB 两点.若AB的中点坐标为(1, -1),则E的方程为()
x2y2x2y2x2y2x2y2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. +=2718945363627181
【答案】D
【解析】
xl2yl2 1 a2b2
试题分析:由题意c 3,设A(xl, yl), B(x2, y2),代入椭圆中得,2,两
2 x2 y2 1 a2b2
yl y2b2xl x2b2 Ib2xl2 x22yl2 y22 2 2 2,所以 0,即式相减
得 22x1 x2ayl y2alaab
b2122 得 2 ,又 c 3,得 a 18, b 9,故选 D. a2
考点:1.椭圆中a, b, c的关系;2.点差法的应用.
x2
y2 1的左焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于A,B,C,D四点,8.过椭圆4
则四边形ABCD面积的最小值为()试卷第3页,总34页
(A) 2 (B)【答案】D【解析】
343332 (C) (D) 252525
试题分析:当两条直线斜率都存在时,设直线AC
的方程为y kx,与椭圆
x21
1 联立后得:(k2)x2 2x 3k2 1 0,设 A(xl, yl), C(x2 441
b2 4ac 12k4 4( k2) (3k2 1) k2
i
4
AC| 1 k2
, 1 k24
同理
12
(
4 4k2|BD| 2
112k 4 ()4k
1
k21A2
k22k 4
1 k2 )
以
IS
2
2, k4
2
4
2
k24
2
(k 4
81
()
因为
2
4k2 1 k 4 25(1 k)22
(4k 1) (k 4)
24
22
,所以
8(1 k2)2 432
S ,故选D
25 (k2 1)225
考点:1.椭圆中关于方程组的联立;2.弦长公式以及四边形面积的求法.
x2y2
l(xy 0)上的动点,F1.F2分别是椭圆的左右焦点,9.已知点P是椭圆0168
为原点,若M是F1PF2的角平分线上的一点,且F1M MP,则0M长度的取值范围是 ()
A. 0, 3 B. 0, 22 C. 22, 3 D. 0, 4
【答案】B【解析】
试题分析:由椭圆的对称性,只要研究动点P在第一象限的情况,当点P与点A重合 时,M与原点0重合,此时0M最短为0,当点P与点B重合时,M与F1重合,此时0M
最长为又点P与点A, B不重合,所以0M的取值范围0, 22.
试卷第4页,总34页
y
FlxFB
考点:椭圆的简单几何性质.
10. 若AABC顶点B,C的坐标分别为(—4,0), (4,0), AC, AB边上的中线长之和为30,
则AABC的重心G的轨迹方程为()
x2y2x2y2A. 1(y 0) B. 1(y 0) 1003610084
x2y2x2y2
C. l(x 0) D. l(x 0) 1003610084
【答案】B
【解析】
试题分析:由重心的性质可知:GB GC 2 30 20>8,由椭圆定义知重心G的轨3
迹是以B,C为焦点的椭圆,且a 10, c 4, :.b2 84,故轨迹方程为
x2y2
l(y 0). 10084
考点:1、三角形重心的性质;2、椭圆的定义;3、轨迹方程.
x2y2
11. 椭圆点P是椭圆上任意一点,则PF1 PF2 1的左右焦点分别为Fl、F2, 43
的取值范围是()
A. 0,4 B. 0, 3 C. 3,4
D. 3,4
【答案】D
【解析】
x2y2
1的长轴长为4,焦距试题分析:由椭圆定义知,PF1 PF2 4,且椭圆43
为2,所以1 PF1 3, 2令
PF1 t,则 PF2 4
t,令 f t
PF1 PF2 t 4
t t
4t,由二次函数
的性质可知,函数f t在t
f t max f 2 2 4 2
2处取得最大值,即
4,试卷第5页,总34页
函数f t在t
1或t 3处取得最小值,由于f
1 f 3
3,故
f t min 3,即
PF1 PF2的取值范围是3,4
,故选D.
考点:1.椭圆的定义;2.二次函数的最值
x2y2
12, 已知对kGR,直线y-kx-l= 0与椭圆 1恒有公共点,则实数m的取值范5m
围是()
(A) 0, 1 (B) 0,5 (C) 1,5
5,
(D) 1, 5
【答案】c
【解析】
x2y2
试题分析:•椭圆 L m 0,且m 5,直线y kx 1 。恒过定点(0, 1), 5m
Ix2y2
欲使其与椭圆 只需让(0, 1)落在椭圆内或者椭圆上,1, 1恒有公共点,5mm
/.m 1, m 5,选 C.
考点:1、过定点的直线系;2、直线与椭圆的位置关系.
x2y2
13. 椭圆N是MF1的中点.贝U|0N|等于() 1上一点M到焦点F1的距离为2, 259
3 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 2
【答案】B
【解析】
试题分析:设椭圆的另一焦点为F2, VMF1 MF2 2a 10, AMF2 8,连接
MF2, 0N,在 MF1F2 中,0N 是 MF1F2 的中位线,AON 1MF2 4, .•.选 B.
2
考点:1、椭圆的定义;2、三角形的中位线.
x2
214.椭圆C:2 y l(a 0)的左右焦点分别为
4
Fl, F2, P为椭圆上异于端点的任意的a
点,PF1, PF2的中点分别为虬N,0为坐标原点,四边形0MPN的周长为
72
q
则△ PF1F2
的周长是()
V2
A.
B.
72
73
C.
试卷第6页,总34页
D. 4【答案】A
【解析】
试题分析:根据椭圆的定义和三角形中位线定理可得OM+ON+PM+PN= PFl+PF2=2a,即
73
c2 a2 b2 3 1 2 ,所以
q
,APF1F2 的周长=PF1+PF2
V2
+2c=,故选 A.
考点:1.椭圆的性质;2.三角形中位线定理.
x2
15.已知椭圆E: y2 1,椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两4
个焦点(如图),则这个平行四边形面积的最大值是.
V3
【答案】4
【解析】
.i)当直线AB与x轴垂直的时候ABCD为矩形面
妗.
积
为.ii)当直线AB不垂直x轴时假设直线lAB:y k(x lCD:y k (x. A (xl, yl) , B
(x2, y2),所以直线AB与直线CD的距离
d= y k(
x .又有.消去22 x 4y 4
2y可得
8阪
:4 (3k
\ 4k2 + 1 车
2 l)x(4k 1) x 12k 4 0. xl x2 xlx2 .所以 24k 1222
l)k 24(1)AB
.所以平行四边形的面积21k 41
$=令k2 t.所以
试卷第7页,总34页
V3
S 因为8t 1 0时.S的最大
值为4.综上S的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点:1. 分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式