炉温采样系统方块图
第六章:线性离散系统的分析与校正
§6.1离散系统
•离散系统 系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码,称
之为离散系统。
挂图举例 炉温采样控制系统
米用检流计(灵敏度、精度咼),可以提咼系统控制精 度。采样调节,风门调节逐渐进行,可避免出现过调,出现波动。
•学习离散系统分析设计方法的目的:用于计算机控制系统的分析、设计。
计算机控制系统的原理框图:
等效结构图:
1、米样保持过程。
A/D:相当于一个采样开关
时间离散:r<视3。为理想采样开关:e*(kT) = e(kT) 数值离散:数字机字长足够:一一忽略量化误差影响.
数字机:数码处理装置:用G,(s)+开关描述其输入e”输出/特性。
D/A:用ZOH零阶保持器实现数码的一拍保持。
厶采样系统的特点:
(1) 采样点间信息损失,带来量化误差和量化噪声;
_ 稳定性变差
•代价(与相应的连续系统相比<
〔动态性能会有损失
(2)需附加A/D, D/A等部件。
0)利用数字机可以灵活的实现各种不同的控制律一一适应性广;
•利益(2)控制多台设备,协调生产过程一一经济性好,功能强;
(3)利于实现生产过程的信息化和现代化管理。
3、采样系统的研究方法
数学工具一一Z变换
研究方法——连续系统研究方法的推广。
§6. 2信号的釆样与保持
e = w(t) •%(》) = — =〉&(nT) • 8(t — nT) ( 1)
n=0 n=0
oo oo
L[e (0] = E*(5)=厶[工 e(M)5(/ — M)]=工 e(M) • e~nTs ( 2 )
n=0 n=0
例]:e(t) = 1(?),求E*(s) o
oo [
解:E*(£)=工 1 •严=l + e-w+ 产 + e-3w += =
”=o 1-e ls eTS -1
例 2: e(t) = e~at,求E*(s)。
00 1
解:E* ($)=工严『•严=1 + 厂(十)+ e"*) +•••= =—
n=0 1 —幺 幺
另外,若将采样函数(理想单位脉冲序列)展开为富氏级数:
OO
6吩工5严
•••(0严耳采样角频率
C” =丄爲(t疋闷dt富氏级数 丄~2
= -^_3^in0,^dt
1 r0+ 1
=—[§⑴ ddt =—
j1 Jo~ t
e*(?) = e(t) •爲(/) = ; e(/) • £ e~jna>st = ; £ e(/) • e~ina>s,
上 n=—oo J- n=—oo
L[e\t)] = E*(5)=厶& £ e(/)• e+沁‘]=* £ E(s + 〃©) (4)
上 n=—oo 上 n=—oo
1 1 00 1
彳列 3: e(t) = 1(0, E(s) = -=>E*(5)= -Y
s T s + jna)s
1 1 1
例 4: e(/) = e-at ,E(s) =——n E* (s)=—工
s + a T s + a + jncos
比较式(3)、(4)有:
E*(s) = £e(M>eW 先对L变换之后再乘
n=0
1 d
=一工E(s + jg)先乘e(%T(/)之后L变换 T n=-°o
'给出£(s)与幺⑴在采样瞬时值之间的联系; 前式: < 一般可以写出封闭形式;
用于求e”⑴的L变换,或时间响应过程。
'给出矿($)与E(s)之间的联系;
后式: <一般写不出封闭形式;
用于对ep)的谱分析。
2、信号的复现
连续信号:
富氏变换
单一有限带宽的连续频谱
离散信号,
富氏变拱
1 8
e (?)频谱:E*(ja>)=丄£ E(ja)+力叫)是以角频率©为周期的周期频谱 r^-' n=—oo
香农采样定理:——信号完全复现的必要条件
[©: e(/)中所含各谐波分量中的最大①
os > 2叫或 T < — < °
© a)s:米样角频率廻=
给出了不产生频率混迭的采样角频率p的下界(或采样周期T的上界),若
找到一个理想滤波器(铅笔所画为其幅频特性),便可实现信号完全复现。
Z0H 单位脉冲响应 =
1 1 1 _(rTS
Gh (s) = -1(?-t)] = —严=
s s s
ZOH的频率特性:
Gh (je)=
j(o
T sin(刃T/2) eT/2
2兀sin龙⑷/©)“_加(%) 'i c
厂理想滤波器幅频特性
E 里想滤波器相频特性
心妙)
•零阶保持器频率特性与理想滤波器频率特性不同,不能实现完全复现。
•零阶保持器有相角延迟(近似可视为一个/产环节)对系统性能不利。
3T 5T 7T» 2T 4T 6T
§6.3 Z变换理论
采样信号的拉氏变换是s的超越函数,不便于分析处理,故引入Z变换的工 具。
1、Z变换的定义:
e (0 = £ e{nT^3{t- nT)
E(z) = Z[/(/)] =厶甘(/)£_
£e(“T) •严 |n=Q
E(z) = Z[e\t)] = £e(“7> z「" = Z[E(s)] = Z[e(/)] = Z[E*(s)] n=0
注:Z变换只对禺散信号而言,e*(/)是E(z)的像原函数,E(z)是e*(/)的Z变换。
E(z)只对应唯一的离散信号e”(/),不对应唯一的连续信号e(/)-
2、Z变换方法:
「1、级数求和法(用定义)
2、查表法(部分分式法)
例]、e(/) = t,求E(z)=?
解法一、(级数求和法)
=7z[z-2 + 2z-3 + 3z-4 • • •]
—1 —, —3 Z_l 1
••• z +z^ + z += r = 1-z-1 z-1
E(z) = £ e(“T)z「" = £ nTz-" = T[z 1 + 2z" + 3z「‘ + …] n=0 n=0
E(z) = -Tz—— = —Q ,=上乙
d I ° 3 ° dz z-1 (z-1)- (z-1)"
—[z“ + 亍 + + …]=—[z 〜+ 2z_ + 3z「" +•••]
dz
解法二、查表法:E(s)
1s2
Tz
£(z)=Z[7]-(z-ir
例2:
解一、
级数求和法:
E(s)
1 (s + q)-(s + Z?)_ 1 1 1
a-b G + q)(s + Z?) a-b s + b s + 丿
求 E(z) = ?
.•.e(/)= 1 [e"‘—e「"‘]
a-b
E(z) = £e(“T)z「" = 1 严"芮”
«=o a—b n=o
=1 {[1 + e~bTz~' + e~-bTz~- + • • •] - [1 + e~clTz~' + e~2ciT z~2 +•••]}
a-b
=1 { 1 } }= 1 [ z - z ] a—b l — e~bTz~l l — e~aTz~l a — b z — eTbT z —解二、查表法:
E⑵^丙匕旷士 Z[士
Z-bT
—]=、s + a a-b z-e
• z变换的局限性:
%1 只反映米样点上的信息e (/);
%1 ep)不对应唯一的连续函数e(/)。 典型信号Z变换。
例]、单位脉冲e(/)5)
E(z)=工 e(“T)z「" = e(OT) - = 1
n=0
例2、单位阶跃:e(/)=l(/)
『|<1
『|<1例2、
E(z) = £ e(nT)z~n = £ z~n = 1 + z_1 + z~2 H F z~n H—=——
n=0 n=0 ] — Z Z — 1
例3、单位理想脉冲序列:= = 皿)
n=0
8 8 1 Z
E(z)=工 e(nT)z'n =工 l(nT) -z~n=l + z_1 + + z』+ …=——-=丄
n=0 n=0 ] — Z Z — 1
唯一 * 不唯一
例 3 中:e⑴ Te*(t);但e*(t) <- e(t);
例4、单位斜坡:e(/)“
E(z)=工 e(nT)z~n =工 nT - z~n
n=0 n=0
Tz(Z —If
由例2、3有:fz^= —
两边对z求导:
£(—n=0
(z-l)-z_ -1(z-1)2 =(z-l)2
n=0 z — 1
两边乘以(-Tz) : . Tz 2
n=0 (Z—1)
例5、指数函数:e(/) = e「"
oo oo oo 1
77/ \ 、' / rri\ —n 、' —aTn —n 、' / —aT —1 \n 丄 Z
E(z) = 2Z(〃T)z =2z z =L(€ ・Z )二 ~~ 二 :
n=0 n=0 n=0 】—幺 Z Z — C
例 6、正弦信号:e(Z) = sinfflf = —[ejM - e~jw]
8 1EQ 匹"
n=0 'J
2j
z—")}
旷如苗"=丄{£■ z「")_£(e”"‘
2 j n=0 n=0
_ 1 z z 1 z(ejMT-e'j6)T)
=~ z —严= 2}z2-z^+^r) + lJ
z • sin aST
z1 -2zcos 曲 + 1
例 7、已知E(s)=—-—,求E⑵。E(z)hE(s) j =- -i
处 + 1) 肓吸 hnz(|;lnz + l)
解:E(5)= - — - Te(/) = 1(/) —e"
S 5 + 1
E(z) f='5 — - z = z(z-el
z-1 z-e_T (z-l)(z-eT)
注 E(z)hE(s) i
£=—lnz
T
例8、查表法:
e~at cos cot
z2 - ze_aT cos qT ^z2 - 2ze_aT cos 69T+e_2aT
3、Z变换基本定理
(1) 线性性质:Z[ae;(0 ± be;(01 = aEx (z) ± bE2 (z)
(2) 实位移定理
延迟定理:Z[e(/-M)] = z「"E(z) z_1 = e~sT :延迟算子(2)
n-1
超前定理:Z[e(t + nT)] = zn[E ⑵-工 e(灯)(3)
k=0
oo oo
证(2)式:Z[e(t-nT)] = e(kT-nT)z~k = z~''e[(k-n)T]- z~{k~n)
k=0 k=0
j=k-n 00
=z-^e(7T)z^=z-^(z)
j=n
证(3)式:兀=1时:
Z[e(t + 门]=工 e(kT + T)z~k = z》e[(k +1)7)]・ z"+d
k=0 k=0
j=k+\
=z[工 e(jT)z「」-e(0) • z°] = z[E(z) - e(0)]
/=()
Z[e(t + 2T)]=工 e(kT + 2T)z~' =z2^ e[(k + 2)T)] • z~('+2)
k=0 k=0
j=k+2 00
=z2 [工 e(jT)z-J - e(0) • z° - e(T) • z'1 ]
7=0
2-1
= z2[E ⑵-工 e(M)z"]
R=0
综合有(3)式。
例:e(t) = t-T,求 E(z) = ?
解:
Z[e(/)] = Z[kT-T] = z~lZ[kT] = z_1
Tz _ T
(z-l)2=(z-l)2
例:e(t) = t + 2T,求 E(z) = ?
厶“ ⑶式 t7 丄
解:E(z) = z\--L—-YkTZ-k]
(z—1) k=0
(3)复位移定理:Z[e(t)-e^at] = E(z-e±aT) (4)
证:左=£ e(n