浙教版八年级下册数学全册教案完整版教学设计 第1章 二次根式 1.1 二次根式 【教学目标】 知识与技能 1．理解二次根式的概念。 2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。 过程与方法 1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。 2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。 3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。 情感态度与价值观 1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。 3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。 教学重难点 重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。 难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。 【教学过程】 知识回顾 求一求：（1）3的平方根是_____； （2）3的算术平方根是_____； （3）有意义吗？为什么？呢？ 归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________； ②一个非负数a的算术平方根可以表示为 。 情景导入 根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空： s cm2 （b-3）cm2 2 cm a cm S 图1.1-1 直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。 学生写出表示算术平方根的式子。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。 探究新知 1.二次根式的概念 引导学生概括二次根式的概念：像 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。 2.深化二次根式的概念： ① 提问：，是不是二次根式？呢？ ② 议一议：二次根式表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。 ③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。 ④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？ 3.讲解例题 例1 求下列二次根式中字母a的取值范围： （1）； （2）； （3） . 教师提问，学生回答，教师板书解题过程。 ① 被开方数需满足什么? ② 由此可得怎样的不等式？ 例2 求下列代数式中字母x的取值范围： 可以转化为解怎样的不等式？ 交流归纳，总结：二次根式中字母的取值范围的基本依据是——被开方数不小于0，当分母中有字母时，要保证分母不为0。 巩固练习二： 求下列二次根式中字母x的取值范围。 例3 当x=4时，求二次根式的值。 教法：（1）引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值。 （2）指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值与求其他代数式的值的方法相同. 巩固练习三：当x分别取下列值时，求二次根式的值。 x=0 ； x=1 ； x=-1。 例4 一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t小时，船的航速是 25千米/时。 （1）用关于t的代数式表示船离出发地的距离。 （2）求当t=3时，船离出发地多少千米？ （精确到0.01千米） 教法：引导学生画图，让学生注重数形结合思想。 知识梳理 由学生总结，谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？教师适当提问并补充。 一个概念:二次根式。 两类题型:1.求代数式所含字母的取值范围。　　　　 2.求二次根式的值。 三点注意:1.二次根式的双重非负性。 　2.分母不能为0。 　3.转化思想。 1.2 二次根式的性质 教学目标 1.经历二次根式的性质的探索过程，体验归纳、猜想的思想方法. 2.会运用二次根式的性质进行有关计算. 教学重难点 重点：理解二次根式的性质. 难点：运用二次根式的性质进行有关计算. 教学过程 1.引入新课 知识回顾： 动动脑筋：你能把一张三边长分别为，，的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗？ 板书课题 2.内容组织 图1-2 1.正方形的边长是. 参考图1-2，完成以下填空: 你发现什么规律？ 二次根式的性质1： 2.填空: 比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？当a≥0时，=_______；当a＜0时，=_________. 二次根式的性质2： 例1 计算: （1）； （2）. 例2 计算： 3.我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算） 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？ 1.积的算术平方根的性质： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数），即. 2.商的算术平方根的性质： 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数），即 例3 化简： 像这样，在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式. 例4 化简： 3.课堂小结 1.二次根式的性质：（1） （2） （3） . （4） 2.最简二次根式的特点：根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式. 1.3 二次根式的运算 课时1 二次根式的乘除运算 【教学目标】 　 1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的． 2．会进行简单的二次根式的乘除运算． 【教学重难点】 Ø重点：二次根式的运算法则． Ø难点：将二次根式的运算结果化成最简二次根式. 【教学过程】 一、 复习引入 1.二次根式有哪些性质？ 2.化简下列二次根式： ，，，. 3.计算：， . 教师根据二次根式的性质公式引导学生思考二次根式的乘除运算，进而引入新课. 二、探究新知 1.例题教学 例 1 计算：； ； . 分析：（2）中一个二次根式的被开方数是带分数要先化成假分数，再进行运算. 解：（1） （2） （3） 2.二次根式乘除运算的一般步骤： （1）运用法则，转化为根号内的实数运算； （2）完成根号内相乘、相除运算； （3）化简二次根式. 3.教师引导学生学习教材P13例2. 二、 巩固练习 教材P14课内练习第3题，学生完成后，出示答案. 三、 课堂小结 （1）二次根式的乘除运算法则： （2） 注意：二次根式的乘除运算中被开方数是带分数要先化成假分数再进行运算.二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式. （3） 运用二次根式解决实际问题. 四、 布置作业 教材P14作业题第1,2,4,6题. 课时2 二次根式的四则混合运算 【教学目标】 　　1．会进行简单的二次根式的四则混合运算． 2．通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的运用，体验迁移、化归等数学思想． 【教学重难点】 Ø重点：二次根式的四则混合运算． Ø难点：二次根式的四则混合运算的运算顺序． 【教学过程】 一、课题引入 并回答问题： （1）你是运用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程） （2）上题中的a若用替代，即： 你认为运算是否正确？ 〖教师归纳〗我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用. 猜想: 那么整式中的其他运算法则或运算律或运算顺序是否也适用于二次根式的运算呢? (教师作肯定回答后) 导出课题: 二次根式的加减运算. 二、探究新知 1. 二次根式的加减运算 教材P15例3 化简: . 启发提问: ⑴ 这是一道二次根式的什么运算?能否适用合并同类项的方法进行合并? ⑵ 上面的二次根式是否还可以化简?请同学们试一下,再回答问题⑴ ( 最后教师板书解题过程) 归纳: 二次根式加减运算之前,应先化简二次根式，再把所含二次根式完全相同的项合 并成一项. 2.练一练: 化简： 3.二次根式的四则混合运算 例 计算: ⑴ ； ⑵ ； ⑶ . 启发提问: ⑴ 第⑴题有哪些运算?运算顺序是什么?系数-3和2如何处理? ⑵ 第⑵⑶题可否用运算律？用到哪些运算律？ ⑶ 第⑵⑶题能否先做括号内的?(教师板书解题过程) 学以致用: 计算: ⑴ ； ⑵ . 教师带领学生一起学习教材例题. 教材P15例5 计算: ⑴ ； ⑵ . 提 问 : ⑴ 这两题的计算与整式中的什么运算类似? ⑵ 第⑴题又有什么特征? (教师板书解题过程) 三、巩固练习 计算: ⑴ ； ⑵ . 四、课堂小结 ⒈二次根式的加减运算：先化简二次根式，再合并同类二次根式. 2.二次根式的四则混合运算顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的. 五、 布置作业 教材P16作业题. 课时3 二次根式及其运算的应用 【教学目标】 1．会运用二次根式解决简单的实际问题． 2．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值． 【教学重难点】 Ø重难点：二次根式及其运算的实际应用． 【教学过程】 一、课题引入 二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途. 如图,我们规定斜坡的铅直高h与水平长度l的比叫做坡比(或坡度),即坡比 已知斜坡的坡比为3:4,且其高CE=2 dm,宽AB=1 dm.一只蚂蚁从A点爬到C点,最短路程是多少? 说明:设计本题有以下目的: ⑴介绍预备知识“坡比”； ⑵激发学生的学习兴趣； ⑶会用二次根式表示未知量.在Rt△BCE中,BC=. 二、应用举例 〖例1〗(教材P17例6)如图，扶梯AB的坡比为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE= m，BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米(要求先化简,再取近似值,结果精确到0.01 m)? 分析：由题意知BE:AE=1:0.8，AE= m，所以BE=（m）.因为BE=CF=m，CF:FD=1:1.6,所以FD=（m）.由勾股定理，得AB=(m), CD=(m).因为BC=CD，所以BC=×(m).所以这个男孩经过的总路程约为AB+BC+CD=≈7.71（m）. 说明:以上的分析过程显示了求解问题的格式化的程序,学生必须养成这样的思维习惯. 练习一： (教材P19作业题T3) 〖例2〗(教材P17例7)如图㈠是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40 cm.将斜边上的高CD四等分,然后截出3张宽度相等的长方形纸条. ⑴分别求出3张长方形纸条的长度. ⑵若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图㈡,正方形美术作品的面积为多少平方厘米 ? 图㈠ E1 E2 E3 F1 F2 F3 G1 G2 G3 图㈡ C A B 分析:⑴①如图㈠,从已知能得到什么? 在Rt△ABC中,CD⊥AB,AC=BC=40 cm,易求得AB和CD的长(让学生求),则CE3=E3F3=F3G3=G3D = CD,纸条的宽度可求. ②怎样求纸条的长度? 纸条的总长度=E1E2+F1F2+G1G2 ,怎样求E1E2(让学生想一想)? F1F2和G1G2 呢? 由