湘教版八年级下册数学全册教案完整版教学设计 1.1.1 直角三角形的性质 教学目标 知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。 2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。 过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。 情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。 教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。 教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。 教学过程 一、教学引入 1、三角形的内角和是多少度。学生回答。 2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。 3、 等腰三角形有哪些性质？ 二、探究新知 1、探究直角三角形的判定定理： ⑴　观察小黑板上的三角形，由ÐA+ÐB的度数，能说明什么？ 　——两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ⑵　讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形的性质： ⑴ 学生画出直角三角形ABC斜边的中线CD。 ⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。 ⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、 共同探究： 例　已知：在Rt△ABC中，ÐACB=90°，CD是斜边AB上的中线。 求证：CD=AB。 [教师引导：数学方法——倒推法、辅助线] 三、应用迁移 巩固提高 练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。即已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB。求证：△ABC是直角三角形。 提示：倒推法，要证明△ABC是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示，请同学们自己写出证明过程。 四、课堂小结 1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。 五、作业布置 1.1.2 直角三角形的性质的推论 重难点 重点：直角三角形的性质推论： 　　（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; 　　（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 　　1.性质定理的证明方法. 　　2.性质定理及其推论在解题中的运用. 讲一讲 　　例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8 cm，D为AB的中点，DE⊥AC于点E， ∠A=30°，求BC，CD和DE的长. 　　分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，得BC的长.由直角三角形斜边中线的性质可求CD的长.在Rt△ADE中，由∠A=30°，即可求DE的长. 　　解：∵∠ACB=90，∠A=30°，∴. 　　∵AB=8，∴BC=4. 　　∵D为AB的中点，CD为中线， 　　∴. 　　∵DE⊥AC，∴∠AED=90°. 　　∵在Rt△ADE中，，而， 　　∴. 　　例2 在△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等边三角形），D为BC边上的中点， 　　DE⊥AC于点E.求证：. 　　分析：CE在Rt△DEC中，由△ABC为等边三角形得出∠EDC=30°，进而得出CE是CD的一半.又由D为BC的中点，得CD为BC的一半，因此得证. 　　证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠DEC=90°(垂直的定义). 　　∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC ，∠C=60°. 　　∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°， 　　∴. ∵D为BC的中点， ∴， ∴. ∴. 　　例3 如图，AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC. 　　求证：AB=BO. 　　分析：证AB=BO只需证明∠BAO=∠BOA.由等腰直角三角形的性质可知，.由此，建立起AE与AC之间的关系，故可利用角相等得证. 　　证明：如图，过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AE⊥BC于点E. 　　∵在△BDC中，BD⊥CD，BD=CD， ∴. 　　∵BC=AC， ∴. 　　∵DF=AE ，∴， 　　∴∠ACB=30°. 　　∵∠CAB=∠ABC，∴∠BAO=∠ABC=75°. 　　∴∠OBA=30°. 　　∴∠AOB=75°. 　　∴∠BAO=∠AOB，∴AB=BO. 练一练 1.在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB.求证：AE=2CE. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA. 求证：DE=DC. 3.如图，已知AB=AC，AD⊥BC于点D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于点E，若AD=9，BC=12，求BE的长. 5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长. 1.2.1 勾股定理的推导及应用 教学目标 知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。 2、在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理 能力。 过程与方法：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探究活动中，学会与人合作，并在与他人的交流中获取探究结 果。 情感、态度与价值观： 1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。 2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作 交流意识和探索精神。 教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程。 教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。 教学过程： 1、课前探究知识储备 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。 《勾股定理证明方法探究报告》 方法种类及历史背景 验证定理的具体过程 知识运用及思想方法 2、设置悬念引出课题 提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？ 为什么把这个图案作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会徽？ 引出课题《勾股定理》 3、画图实践大胆猜想 沿着先人的足迹，开始勾股定理的探索之旅。 活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。 （1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现什么？ 地面 图18.1-1 （2）你能找出图18.1-1中正方形A，B，C面积之间的关系吗？ （3）图中由正方形A，B，C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系? 由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？学生们展开活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边在三角形外作正方形（四人小组每组成员所画图形相同，派小组代表前边投影展示）。 a.可以怎样求以斜边为边的正方形面积？ b.三个正方形的面积有何关系？ c.直角三角形的三边长有何关系？ d.请大胆提出你的猜想。 学生在网格纸上按要求画图，然后回答给出的问题。进一步追问： 是否任意直角三角形的三边都满足此关系？由学生归纳，得出命题：如果直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，那么。设问：这是个真命题吗？ 活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，，斜边长为，请同学们动手拼一拼。 a.请用尽可能多的方法拼成一个正方形； b.请从你拼出的图形中验证：。 4、动手拼图定理证明 继续追问：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起分享） 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，那么。 5、学以致用体会美境 课件展示练习： （1）求下图中字母所代表的正方形的面积。 （2）求下列图中表示边的未知数x、y的值。 （3）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__ cm2。 （4）几何画板演示运动的勾股树。 6、总结升华 总结收获：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续探索的问题？ 结束寄语： 牛顿——从苹果落地最终确立了万有引力定律 我们——从朝夕相处的三角板发现了勾股定理 虽然两者尚不可同日而语 但是探索和发现终有价值 也许就在身边 也许就在眼前 还隐藏着无穷的“万有引力定律”和“勾股定理”…… 祝愿同学们—— 修得一个用数学思维思考世界的头脑 练就一双用数学视角观察世界的眼睛 开启新的探索—— 发现平凡中的不平凡之谜…… 1.2.2 勾股定理的逆定理 教学目标 知识与技能：1、体会勾股定理的逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 过程与方法：（1）通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过程； （2）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的运用。 情感、态度与价值观： （1）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数 与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系； （2）通过对勾股定理的逆定理的探索，培养学生的交流、合作的 意识和严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 教学重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。 教学难点：理解勾股定理的逆定理的推导。 教学过程 （1）复习 1、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是__。 2．在一个直角三角形中，量得其中两边的长分别为5㎝，3㎝，则第三边的长是__。 3．要登上8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，问：至少需要多长的梯子？ （2）情境导入 1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？ 【实验观察】 用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第1个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第13个结与第1个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形。（这是古埃及人画直角的方法） 2、 用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5㎝，AC=4㎝，BC=3㎝，量一量∠C。 再画一个三角形，使它的三边长分别是5㎝，12㎝，13㎝，这个三角形有什么特征？ 3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导） 学生猜想：如果一个三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。 （3）探究新知 1、探究：在下图中，△ABC的三边长，，满足。如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是，的直角三角形全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形， 使∠=90°， =， =。把画好的△ 剪下，放到△A