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专练17 函数、导数及其应用综合检测 1.B 因为f(-x)=-x+=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除C,D,又f(1)=0,所以排除A,故选B. 2.B 由题可得A(a,2a+1),B(a,a+lna), ∴|AB|=|2a+1-(a+lna)|=|a+1-lna|. 令f(x)=x+1-lnx(x>0),则f′(x)=1-,当0
1时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得最小值,最小值为2>0, ∴|AB|=|a+1-lna|=a+1-lna,其最小值为2. 3.A 由指数函数y=πx在R上单调递增, 可得a=π0.2>π0=1,由对数函数y=logπx在(0,+∞)上单调递增,知0=logπ1
0时,都有xf′(x)+2f(x)>0恒成立,所以h′(x)>0,所以h(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以h(x)=x2f(x)也是定义在R上的奇函数,所以h(x)=x2f(x)在(-∞,0)上单调递增.又函数f(x)的定义域为R,其导函数为f′(x),所以h(x)=x2f(x)在R上单调递增.因为f()=1,所以h()=2f()=2,所以x2f(x)<2即h(x)
0,且=. 同理可得b>0且=,c>0且=.令f(x)=(x>0), 则f′(x)=,当0
1时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(5)>f(4)>f(3).因为=,=,=,所以f(5)=f(a),f(4)=f(b),f(3)=f(c),所以f(a)>f(b)>f(c).又0
0时,函数y=|kx2-2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与,则当x>时,由kx2-2x=x3,得x2-kx+2=0,令Δ=k2-8=0,得k=2,此时在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象如图3所示,由图3知两图象有3个不同的公共点,不满足题意.令Δ=k2-8>0,得k>2,此时在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象如图4所示,由图4知两图象有4个不同的公共点,满足题意.令Δ=k2-8<0,得0
2时,f′(x)-f(x)>0,∴g′(x)>0, 故y=g(x)在(2,+∞)上单调递增,选项A正确; 当x<2时,f′(x)-f(x)<0,∴g′(x)<0, 故y=g(x)在(-∞,2)上单调递减, 故x=2是函数y=g(x)的极小值点,故选项B正确; 由y=g(x)在(-∞,2)上单调递减,则y=g(x)在(-∞,0]上单调递减, 由g(0)==2,得x≤0时,g(x)≥g(0), 故≥2,故f(x)≥2ex,故选项C错误; 若g(2)<0,则y=g(x)至多有2个零点, 若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点, 若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点,故选项D正确. 10. 解析:由题意,得f′(x)=ex+2x,所以f′(0)=1.又f(0)=1,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0,所以该切线与x,y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1=. 11.-4 解析:∵f′(x)=-3x2+2ax,由题意得f′(2)=0,得a=3. ∴f′(x)=-3x2+6x,∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m∈[-1,1]时f(m)min=f(0)=-4. 12.(1) (2)[0,] 解析:(1)当a=时,若x≤0,则f(x)=(x-)2≥2=,若x>0,则f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,则函数的最小值为. (2)由(1)知,当x>0时,函数f(x)≥2,此时的最小值为2,若a<0,则当x=a时,函数f(x)的最小值为f(a)=0,此时f(0)不是最小值,不满足条件.若a≥0时,则当x≤0时,函数f(x)=(x-a)2为减函数,则当x≤0时,函数f(x)的最小值为f(0)=a2,要使f(0)是f(x)的最小值,则f(0)=a2≤2,即0≤a≤,即实数a的取值范围是[0,]. 13.A f′(x)=ex-1[x2+(a+2)x+a-1], ∵x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点, ∴f′(-2)=0,∴a=-1,∴f(x)=(x2-x-1)ex-1, ∴f′(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x-1)(x+2), ∴当x∈(-∞,-2),(1,+∞)时f(x)单调递增, f(x)在(-2,1)上单调递减, ∴f(x)极小值=f(1)=-1. 14.D 解法一:在曲线y=ex上任取一点P,对函数y=ex求导得y′=ex, 所以,曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=et,即y=etx+et, 由题意可知,点在直线y=etx+et上,可得b=aet+et=et, 令f=et,则f′=et. 当t
0,此时函数f单调递增, 当t>a时,f′<0,此时函数f单调递减, 所以,fmax=f=ea, 由题意可知,直线y=b与曲线y=f的图象有两个交点,则b
0,当t>a+1时,f<0,作出函数f的图象如下图所示: 由图可知,当0
0,则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k=, ∴2a=. 又∵直线g(x)=2ax-1过点(0,-1), ∴k=, ∴=.解得m=1, ∴当两线相切时,a=. ②当a=0时,h(x)与g(x)的图象只有一个交点. ∴所求a的取值范围是. 16.- 解析:f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1) =2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1). ∵cosx+1≥0, ∴当cosx<时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当cosx>时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴当cosx=,f(x)有最小值. 又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx), ∴当sinx=-时,f(x)有最小值, 即f(x)min=2××=-.
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