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绝密启用前 2022-2023学年度上学期质量检测 高二年级数学试题 考试时间:120分钟 满分:150分 一、单选题 1.曲线在点处的切线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.经过抛物线的焦点且平行于直线的直线l的方程是( ) A. B. C. D. 3.若等差数列满足,则的值是( ) A.20 B.36 C.24 D.72 4.椭圆上一点P到左焦点F的距离为6,若点M满足,则( ) A.6 B.4 C.2 D. 5.已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数a的值为( ) A. B. C. D. 6.如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中,M,N分别为的中点,则直线和夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A,B两点,Q为弦的中点,P为C上一点,则的最小值为( ) A. B.8 C. D.5 8.已知数列满足,记数列的前n项和为,若对于任意,不等式恒成立,则实数k的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知双曲线,下列对双曲线C判断正确的是( ) A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4 C.离心率为 D.渐近线方程为 10.已知两圆方程为与,则下列说法正确的是( ) A.若两圆外切,则 B.若两圆公共弦所在的直线方程为,则 C.若两圆的公共弦长为,则 D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则 11.已知平面上一点,若直线上存在点P使,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( ) A. B. C. D. 12.若直线是曲线与曲线的公切线,则( ) A. B. C. D. 三、填空题 13.已知椭圆的上顶点为A,左顶点为B,则直线的斜率为______________. 14.各项均为正数的等比数列,若,则______________. 15.过点作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线的方程为______________. 16.已知曲线,若过曲线C外一点引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则实数a的值为______________. 四、解答题 17.直线l经过两直线和的交点. (1)若直线l与直线平行,求直线l的方程; (2)若点到直线l的距离为5,求直线l的方程. 18.已知函数. (1)求的解析式; (2)求在处的切线方程. 19.已知数列是等差数列,其中,且. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前n项和. 20.如图所示,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,,底面为直角梯形,其中,O为的中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值; (2)求B点到平面的距离. 21.已知数列的前n项和,其中. (1)求数列的通项公式; (2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值. 22.已知椭圆的离心率为,且椭圆C经过点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,与直线交于点Q,设,求证:为定值. 期末考试数学答案 一、单选题 1.【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】因为,所以,故所求切线的倾斜角为. 故选:B. 2.【答案】A 【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线的斜率,由点斜式方程即可求出答案. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为, 直线的斜率为, 所以所求直线l的方程为, 化为一般式,得. 故选:A. 3.【答案】C 【分析】利用等差数列前n项和公式以及等差数列的性质,将两个已知条件分别转化为与,求得公差和,题目所求. 【详解】由和,得, 由和,得, 故等差数列的公差为1,∴. 又,∴,则. 故选:C. 4.【答案】C 【分析】根据求出左焦点F的坐标,然后设P的坐标,根据两点间的距离公式求出P到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P的坐标,由得到M为的中点,根据中点坐标公式求出M的坐标,利用两点间的距离公式求出即可. 【详解】解:由椭圆得, 左焦点,设,则又 解得或(舍去); 又P在椭圆上,则将代入到椭圆方程中求出, 所以点; 由点M满足,则得M为中点, 根据中点坐标公式求得, 所以 故选:C 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值,同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法,属于中档题. 5.【答案】D 【解析】求出函数的导数和在处的切线斜率,再由与直线垂直斜率乘积为可得答案. 【详解】, ,切线的斜率为, 因为切线与直线垂直,所以, 解得. 故选:D. 6.【答案】A 【分析】将用表示,用表示,再利用向量法求解即可. 【详解】解:在正四面体(四个面都是正三角形)中, , 因为M,N分别为的中点, 所以, 且, 则 , 所以, 即直线和夹角的余弦值为. 故选:A. 7.【答案】B 【分析】根据给定条件,求出直线的方程,再与抛物线方程联立,结合抛物线定义,借助几何意义求解作答. 【详解】抛物线,焦点,准线,直线的方程为, 由消去y并整理得:,设,则, 弦中点Q的横坐标,过点Q作准线l的垂线,垂足为点D,如图, 令交抛物线于点P,在抛物线上任取点,过作于点,连接, 即有, , 当且仅当点与P重合时取等号, 所以的最小值为. 故选:B. 8.【答案】C 【分析】由已知得,根据等比数列的定义得数列是首项为2,公比为2的等比数列,由此求得,然后利用裂项求和法求得,进而求得k的取值范围. 【详解】解:依题意,当时,,则, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,,即, 所以, 所以 , 所以k的取值范围是. 故选:C 二、多选题 9.【答案】BD 【分析】根据双曲线的标准方程求出a、b、c,可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程,对四个选项一一验证即可. 【详解】∵双曲线,∴.∵,∴. ∴双曲线的实轴长是,虚轴长是,A错误;焦距为.B正确;离心率为,C错误;渐近线方程为,D正确. 故选:BD 10.【答案】AB 【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】设圆为圆,圆的圆心为,半径. 设圆为圆,圆的圆心为,半径. . A选项,若两圆外切,则,A选项正确. B选项,由两式相减并化简得, 则, 此时,满足两圆相交,B选项正确. C选项,由两式相减并化简得, 到直线的距离为, 所以, 即,则解得或,C选项错误. D选项,若两圆在交点处的切线互相垂直,设交点为D, 根据圆的几何性质可知, 所以,D选项错误. 故选:AB 11.【答案】BC 【分析】所给直线上的点到定点M距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离来分析,分别求出定点M到各选项的直线的距离,判断是否小于或等于4,即可得出答案. 【详解】所给直线上的点到定点M距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离来分析. A.因为,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”; B.因为,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”; C.因为,直线上存在一点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”; D.因为,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”. 故选:BC 12.【答案】AD 【分析】设直线与曲线相切于点,与曲线相切于点,再由导数为3求解. 【详解】解:设直线与曲线相切于点, 与曲线相切于点, 对于函数,则, 解得, 所以,即. 对于函数, 则, 又, 所以, 又, 所以. 故选:AD 三、填空题 13.【答案】 【分析】依题意可得,即可得到上顶点A,左顶点B的坐标,即可求出的斜率; 【详解】解:因为椭圆方程为,所以,即,所以椭圆的上顶点为,左顶点为,所以; 故答案为: 14.【答案】2 【解析】根据等比数列性质化简为,开方即可. 【详解】解:由各项均为正数的等比数列得 所以. 故答案为:2 【点睛】应用等比数列性质解题时的2个关注点: (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若,则”,可以减少运算量,提高解题速度; (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用. 15.【答案】 【分析】先求得切线长,然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆的圆心为,半径, 设, 所以切线长为, 以D为圆心,半径为的圆的方程为, 即①, 圆即②, 由①-②得直线的方程为, 即. 故答案为: 16.【答案】 【分析】设切点为,由导数的几何意义求切线的斜率,根据倾斜角关系求a. 【详解】设切点坐标为.由题意,知,切线的斜率为①,所以切线的方程为②. 将点代入①式,得,解得或.分别将和代入②式,得和.由题意,得,得. 故答案为:. 四、解答题 17.【答案】(1) (2)或 【分析】(1)求出交点坐标,设直线l的方程为:,代入交点即可求出; (2)当直线l的斜率不存在时,符合条件,当l斜率存在时,设直线的方程为:,利用点到直线的距离公式列方程求解. (1)直线方程与方程联立,得交点坐标为 设直线l的方程为:,代入交点得, 所以l的方程为 (2)当直线l的斜率不存在时,得l的方程为:,符合条件. 当l斜率存在时,设直线l的方程为:, 根据,解得, 所以直线l的方程为. 综上所述,l为或 18.【答案】(1); (2). 【分析】(1)对函数求导,利用给定条件列式计算即可得解. (2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率,再由直线的点斜式方程即可求出切线方程. 【详解】(1)由求导得:, 又,则,解得, 所以的解析式为. (2)由(1)得,,则, 在处的切线方程为,即, 所以在处的切线方程是:. 19.【答案】(1); (2). 【分析】(1)利用等差数列通项公式求基本量,进而写出通项公式: (2)由(1)有,应用分组求和、裂项相消法及等比数列前n项和公式求. (1)由题设,,可得, 所以的通项公式. (2)由(1)知:, 所以, 令, 所以. 20.【答案】(1);(2). 【解析】(1)利用面面垂直的性质定理可得平面.以O为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求; (2)利用在平面的法向量上的投影计算求解. 【详解】解:(1)在中,,O为的中点, 所以. 又因为侧面底面,平面平面平面, 所以平面. 在中,,所以. 在直角梯形中,O为的中点,所以, 所以. 以O为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则, 所以. 因为, 所以平面. 所以为平面的一个法向量, , 所以与平面所成角的余弦值为. (2)因为, 设平面的一个法向量为, 则. 取,得. 则B点到平面的距离. 【点睛】本题考查面面垂直的性质定理,利用空间向量求线面角和点到平面的距离,求平面的法向量是关键点,易错点,利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面
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