第四章 一次函数4.2一次函数与正比例函数北师版 数学 八年级上册学习目标1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式。2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系。3.能利用一次函数解决简单的实际问题。情景导入什么叫函数?函数的表达方式有哪些?在某个变化过程中,有两个变量x 和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.函数有图象、表格、关系式三种表达方式.探索新知一次函数与正比例函数一1.某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:(2)你能写出y与x之间的关系式吗?x/kg012345y/cm3 3.5 4 4.5 5 5.5解:y与x之间的关系式为:y=3+0.5x.探索新知2.某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)完成下表:(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436 y=0.12xz=60-0.12x探索新知研讨以下两个函数关系式:(1)y=0.5x+3.(2)y=-0.12x+60.它们的结构有什么特点?解析:1.都是含有两个变量x,y的等式.2.都是整式3.x和y的指数都是一次.4.自变量x的系数都不为0.关系式为:y=kx+b(k,b为常数,k0)通式:探索新知 若两个变量 x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k0)的形式,则称 y是x的一次函数.一次函数定义:一次函数定义:总结归纳次数为次数为1 右边是一个含_的单项式,加上一个_.(2)自变量和因变量的次数都是_的。(1)左边是_,因变量y自变量x常数一次探索新知特别地,当b=0时函数是一次函数关系式为:y=kx+b(k,b为常数,k0)关系式为:y=kx(k为常数,k0)称y是x的正比例函数.探索新知 正比例函数 正比例函数是一种特殊的_一次函数一次函数y=kx(k 0)自变量比例系数x的正比例函数总结归纳探索新知做一做:给出下列关系式,y是x的一次函数吗?y是x的正比例函数吗?(1)y=x4;(2)y5x26;(3)y=2x;(6)y=8x2+x(1-8x);解:一次函数有(1)(3)(4)(6)正比例函数有(3)(4)(6)(7)y=kx+b.化简之后再进行判断探索新知1.已知函数y=(k2)x+4k2,当k 时,这个函数是一次函数;当k=时,这个函数是正比例函数.2.已知函数y=2x|m|+(m+1),当m=时,这个函数是一次函数;当m=时,这个函数是正比例函数.2-2注意:一次函数满足:(1)k 0,自变量x的系数不为0;(2)自变量x的指数是“1”1 1注意:正比例函数满足:(1)k 0,自变量x的系数不为0;(2)自变量x的指数是“1”(3)b=0探索新知例:写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球,其速度每秒增加3m,小球的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系;(2)周长为10cm的长方形的一边长为xcm,其邻边长y(cm)与x(cm)之间的关系;(3)周长为10cm的长方形的一边长为xcm,其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系.探索新知解:(1)y=3x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(3)y=x(102x)=5xx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.(2)y=102x=5x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数.探索新知例:已知函数y(m5)xm224m1.(1)若它是一次函数,求m的值;(2)若它是正比例函数,求m的值 解:(1)因为y(m5)xm224m1是一次函数,所以 m2241且m50,所以 m5且m5,所以 m5.所以,当m5时,函数y(m5)xm224m1是一次函数探索新知例:已知函数y(m5)xm224m1.(1)若它是一次函数,求m的值;(2)若它是正比例函数,求m的值 解:(2)因为 y(m5)xm224m1是一次函数,所以 m2241且m50且m10.所以 m5且 m5且m1,则这样的m不存在,所以函数y(m5)xm224m1不可能为正比例函数探索新知例:我国自2019年1月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入-800)20%;如某人劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)20%=240(元)探索新知(2)某人某次取得劳务报酬3500元,他这笔所得应预扣预缴税款多少元?(1)当每次收入大于800元但不超过4000元时,写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式解:当每次收入大于800元但不超过4000元时y=(x-800)20%即:y=0.2x-160当x=3500时y=0.23500-160=540(元)探索新知(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元,那么此人这次取得的劳务报酬是多少元?因为(4000-800)20%=640而600640所以此人本次取得的劳务报酬不超过4000元设此人本次取得的劳务报酬是x元根据题意得:600=0.2x-160解得:x=3800所以此人本次取得的劳务报酬是3800元当堂检测1设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是()AS是R的一次函数 BS是R的正比例函数CS与R2成正比例关系 D以上都不正确C当堂检测2为了改善生态环境,政府决定绿化荒地,计划第一年先植树2万亩,以后每年都植树2.5万亩,结果植树的总面积y(万亩)与时间x(年)的函数关系式是()Ay2.5x2 By2x2.5Cy2.5x0.5 Dy2x0.5C当堂检测3若一次函数ykx5,当x3时函数值为1,则当x5时的函数值为()A5B5C8D24若函数y13x2,y211x5,且yy1y2,则当y的值是13时,x的值为_B2当堂检测5在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升7.5元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(升)之间的函数关系式是 y7.5x6对于函数y(k3)xk3,当k_时,它是正比例函数;当k_时,它是一次函数7如果y(k4)x|k|32是一次函数,那么k的值是_334当堂检测8已知函数y(m3)xm29.(1)当m为何值时,此函数是正比例函数?(2)当m为何值时,这个函数是一次函数?当堂检测9已知y2与x成正比例,当x2时,y4.求y与x的函数关系式解:设y2kx(k0),当x2时,y4.422k,解得k1.y2x,yx2一次函数与正比例函数一次函数形式:y=kx+b(k0)特别地,当b=0时,y=kx(k0)是正比例函数一次函数的简单应用