二、填空题
1. (2019湖北仙桃,13,3分)矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是 .
【答案】100
【解析】解:设矩形的宽为x,则长为(20﹣x),
S=x(20﹣x)=﹣x2+20x=﹣(x﹣10)2+100,
当x=10时,S最大值为100.
故答案为100.
【知识点】二次函数的最值;矩形的性质
2. (2019黑龙江大庆,18题,8分)如图抛物线y=(p>0),点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面积=______(只用a,b表示).
第18题图
【答案】
【思路分析】先由边相等得到∠A1FB1=90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积.
【解题过程】设∠A=x,则∠B=180°-x,由题可知,AA1=AF,BB1=BF,所以∠AFA1=,∠BFB1=,所以∠A1FB1=90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1=,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:y=-p,△A1OB1的高为,所以△A1OB1的面积=··=
【知识点】等边对等角,勾股定理,二次函数,三角形面积
三、解答题
1. (2019广西省贵港市,题号,分值11分)如图,已知抛物线的顶点为,与轴相交于点,对称轴为直线,点是线段的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出点的坐标并求直线的表达式;
(3)设动点,分别在抛物线和对称轴上,当以,,,为顶点的四边形是平行四边形时,求,两点的坐标.
【思路分析】(1)函数表达式为:,将点坐标代入上式,即可求解;
(2)、,则点,设直线的表达式为:,将点坐标代入上式,即可求解;
(3)分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.
【解题过程】解:(1)函数表达式为:,
将点坐标代入上式并解得:,
故抛物线的表达式为:;
(2)、,则点,
设直线的表达式为:,
将点坐标代入上式得:,解得:,
故直线的表达式为:;
(3)设点、点,
①当是平行四边形的一条边时,
点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,
即:,,
解得:,,
故点、的坐标分别为、;
②当是平行四边形的对角线时,
由中点定理得:,,
解得:,,
故点、的坐标分别为、;
故点、的坐标分别为或、或.
【知识点】二次函数综合题
2. (2019贵州省毕节市,题号27,分值16分)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),即可求解;
(2)S△CPD:S△BPD=1:2,则BD=BC=×3=2,即可求解;
(3)∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,则∠OHE=45°,故OH=OE=1,即可求解;
(4)利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8,即可求解.
【解题过程】解:(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),
即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3…①,
顶点坐标为(﹣1,4);
(2)∵OB=OC,
∴∠CBO=45°,
∵S△CPD:S△BPD=1:2,
∴BD=BC=×3=2,
yD=BDsin∠CBO=2,
则点D(﹣1,2);
(3)如图2,设直线PE交x轴于点H,
∵∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,
∴∠OHE=45°,
∴OH=OE=1,
则直线HE的表达式为:y=﹣x﹣1…②,
联立①②并解得:x=(舍去正值),
故点P(,);
(4)不存在,理由:
连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,
直线BC的表达式为:y=x+3,
设点P(x,﹣x2﹣2x+3),点H(x,x+3),
则S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3=8,
整理得:3x2+9x+7=0,
解得:△<0,故方程无解,
则不存在满足条件的点P.
【知识点】二次函数综合题.
3. (2019贵州黔西南州,26,16分)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),即可求解;
(2)S△CPD:S△BPD=1:2,则BD=23BC=23×32=22,即可求解;
(3)∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,则∠OHE=45°,故OH=OE=1,即可求解;
(4)利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8,即可求解.
【解题过程】解:(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),
即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3…①,
顶点坐标为(﹣1,4);
(2)∵OB=OC,
∴∠CBO=45°,
∵S△CPD:S△BPD=1:2,
∴BD=23BC=23×32=22,
yD=BDsin∠CBO=2,
则点D(﹣1,2);
(3)如图2,设直线PE交x轴于点H,
∵∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,
∴∠OHE=45°,
∴OH=OE=1,
则直线HE的表达式为:y=﹣x﹣1…②,
联立①②并解得:x=-1±172(舍去正值),
故点P(-1-172,17-12);
(4)不存在,理由:
连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,
直线BC的表达式为:y=x+3,
设点P(x,﹣x2﹣2x+3),点H(x,x+3),
则S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=12×3×3+12(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3=8,
整理得:3x2+9x+7=0,
解得:△<0,故方程无解,
则不存在满足条件的点P.
【知识点】二次函数综合运用;一次函数;一元二次方程的应用
4. (2019湖北十堰,25,12分)已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(2,0)和C(0,94),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠A,则△DEF能否为等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)若点P在抛物线上,且S△PBDS△CBD=m,试确定满足条件的点P的个数.
【思路分析】(1)利用待定系数法,转化为解方程组即可解决问题.
(2)可能.分三种情形①当DE=DF时,②当DE=EF时,③当DF=EF时,分别求解即可.
(3)如图2中,连接BD,当点P在线段BD的右侧时,作DH⊥AB于H,连接PD,PH,PB.设P[n,-316(n﹣2)2+3],构建二次函数求出△PBD的面积的最大值,再根据对称性即可解决问题.
【解题过程】解:(1)由题意:16a+c=04a+c=94,
解得a=-316c=3,
∴抛物线的解析式为y=-316(x﹣2)2+3,
∴顶点D坐标(2,3).
(2)可能.如图1,
∵A(﹣2,0),D(2,3),B(6,0),
∴AB=8,AD=BD=5,
①当DE=DF时,∠DFE=∠DEF=∠ABD,
∴EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.
②当DE=EF时,
又∵△BEF∽△AED,
∴△BEF≌△AED,
∴BE=AD=5
③当DF=EF时,∠EDF=∠DEF=∠DAB=∠DBA,
△FDE∽△DAB,
∴EFBD=DEAB,
∴EFDE=BDAB=58,
∵△AEF∽△BCE
∴EBAD=EFDE=58,
∴EB=58AD=258,
答:当BE的长为5或258时,△CFE为等腰三角形.
(3)如图2中,连接BD,当点P在线段BD的右侧时,作DH⊥AB于H,连接PD,PH,PB.设P[n,-316(n﹣2)2+3],
则S△PBD=S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=12×4×[-316(n﹣2)2+3]+12×3×(n﹣2)-12×4×3=-38(n﹣4)2+32,
∵-38<0,
∴n=4时,△PBD的面积的最大值为32,
∵S△PBDS△CBD=m,
∴当点P在BD的右侧时,m的最大值=325=310,
观察图象可知:当0<m<310时,满足条件的点P的个数有4个,
当m=310时,满足条件的点P的个数有3个,
当m>310时,满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BD的左侧).
【知识点】待定系数法;全等三角形的判定和性质;相似三角形的判定和性质;等腰三角形的判定和性质
5. (2019湖北咸宁,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-12x2+bx+c经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标;
(3)已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点,当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合条件的E点的坐标.
【思路分析】(1)求得A、B两点坐标,代入抛物线解析式,获得b、c的值,获得抛物线的解析式.
(2)通过平行线分割2倍角条件,得到相等的角关系,利用等角的三角函数值相等,得到点坐标.
(3)B、O、E、F四点作平行四边形,以已知线段OB为边和对角线分类讨论,当OB为边时,以EF=OB的关系建立方程求解,当OB为对角线时,OB与EF互相平分,利用直线相交获得点E坐标.
【解题过程】解:(1)在y=-12x+2中,令y=0,得x=4,令x=0,得y=2
∴A(4,0),B(0,2)
把A(4,0),B(0,2),代入y=-12x2+bx+c,得
c=2-12×16+4b+c=0,解得b=32c=2
∴抛物线得解析式为y=-12x2+32x+2
(2)如图,过点B作x轴得平行线交抛物线于点E,过点D作BE得垂线,垂足为F
∵BE∥x轴,∴∠BAC=∠ABE
∵∠ABD=2∠BAC,∴∠ABD=2∠ABE
即∠DBE+∠ABE=2∠ABE
∴∠DBE=∠ABE
∴∠DBE=∠BAC
设D点的坐标为