北师大版八年级上册数学全册教案（完整版）教学设计 1　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 一、基本目标 1．经历勾股定理的发现过程，了解并掌握勾股定理的内容． 2．通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理． 【教学难点】 勾股定理的探究． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2. 2．下列说法中正确的是(　C　) A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2 B．在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c2 3．若Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，则AC长是(　B　) A．5 B．6 C．7 D．8 环节2　合作探究，解决问题 活动1　小组讨论(师生对学) 【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长． 【互动探索】(引发学生思考)要求CD的长，CD是△ABC的高，AB的长已知，如果能求出三角形ABC的面积就好办了． 【解答】∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm， ∴由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16＝42，∴AC＝4 cm. 又∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC， ∴CD＝＝＝(cm)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这个规律常与勾股定理联合使用． 【例2】如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)． 【互动探索】(引发学生思考)结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC于点E，在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明． 【证明】如图，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， ∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)． 又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题． 活动2　巩固练习(学生独学) 1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝5，b＝12，则c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40. 2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6，面积为48. 3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. (1)若a＝5，b＝12，求c； (2)若a＝15，c＝17，求b. 解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝52＋122＝169.∵c>0，∴c＝13. (2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8. 活动3　拓展延伸(学生对学) 【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形． 【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝92，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 图1　 　图2 【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2. 请完成本课时对应练习！ 第2课时　勾股定理的证明 一、基本目标 勾股定理的面积证法；会用勾股定理进行简单的计算． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的面积证法． 【教学难点】 勾股定理的应用． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，c＝10，则b＝8. 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为2.5m. 3．根据下图，利用面积法证明勾股定理． 证明：∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA， 又∵S梯形ABCD＝(a＋b)2，S△BCE＝S△EDA＝ab，S△ABE＝c2， ∴(a＋b)2＝2×ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2，即勾股定理得证． 环节2　合作探究，解决问题 活动1　小组讨论(师生对学) 【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形． 证明：a2＋b2＝c2. 【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个大正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理． 【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等． 左边大正方形面积可表示为a2＋b2＋ab×4， 右边大正方形面积可表示为c2＋ab×4. ∵a2＋b2＋ab×4＝c2＋ab×4， ∴a2＋b2＝c2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理． 活动2　巩固练习(学生独学) 1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为(　D　) A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2 2．直角三角形两直角边长分别为5 cm,12 cm，则斜边上的高为cm. 3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为多少？ 解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝＝＝480(m)． 该河流的宽度为480 m. 活动3　拓展延伸(学生对学) 【例2】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和． 【互动探索】如何找到这个点P？找到以后如何算出最短距离呢？ 【解答】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6( km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10 km.即AP＋BP＝AB′＝10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的点P的位置，会构造Rt△AB′E. 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 勾股定理 请完成本课时对应练习！ 2　一定是直角三角形吗 一、基本目标 经历探究勾股定理的逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的逆定理，勾股数． 【教学难点】 勾股定理的逆定理的探究． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P9～P10的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是(　A　) A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝7，b＝24，c＝25 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5 2．如图，正方形网格中每个小方格边长均为1，则格点△ABC的形状为(　A　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 3．一根24米长的绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为6米，8米，10米，此三角形的形状为直角三角形. 环节2　合作探究，解决问题 活动1　小组讨论(师生对学) 【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形． (1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°； (2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25； (3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2. 【互动探索】(引发学生思考)如何判定一个三角形是直角三角形呢？(1)直角三角形的两锐角互余；(2)利用勾股定理的逆定理进行验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证． 【解答】(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形． (2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形． (3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形． 【互动总结】(学生总结，老师点评)在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最长边，定理描述的是最长边的平方等于另外两边的平方和． 活动2　巩固练习(学生独学) 1．如果三条线段长a、b、c满足a2＝c2－b2，那么这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解：是．∵a2＝c2－b2，∴a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形． 2．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a、b、c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 解：对．理由：∴a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，而c2＝(m2＋1)2，∴a2＋b2＝c2，即a、b、c是勾股数． m＝2时，勾股数为4、3、5；m＝3时，勾股数为6、8、10；m＝4时，勾股数为8、15、17. 3．如图，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求该图形的面积． 解：连接AC． ∵在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4， ∴AC＝＝5