浙东北联盟（ZDB）2022-2023学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的. 1. 某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分.在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（ ） A. 众数 B. 标准差 C. 平均数 D. 中位数 2. 已知，，三点共线，则实数（ ） A. 10 B. 4 C. －4 D. －10 3. 若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 某旅行社统计了三条路线的旅游人数，具体分布如下表（每人参加且仅参加一条路线）： 南北湖景区 东湖景区 西塘古镇景区 男性 30 60 女性 50 40 60 现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查，从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机抽样的方法抽取60人，从参加南北湖景区路线的人中抽出16人，则（ ） A. 30 B. 60 C. 80 D. 100 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，.若线段的中垂线经过点，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新的样本数据，，…，，则（ ） A. 新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍 B. 新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍 C. 新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍 D. 新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍 10. 已知曲线：，则（ ） A. 若，则曲线为圆 B. 若，则曲线为双曲线 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则其离心率 D. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其渐近线方程为 11. 已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 的面积为 B. 直线的方程为 C. 在经过，两点的所有圆中，的面积最小 D. 若是圆和圆边界及内部的一点，则 12. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ） A. 原点在曲线的内部 B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 若，则的最大值为 D. 若，则存在点，使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_________. 14. 在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78，85，，82，75，80，他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为_________. 15. 已知直线：，：，若，则实数_________. 16. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）求满足下列条件的直线方程. （1）直线的倾斜角为，且经过点； （2）直线过点，且在两坐标轴上的截距相等. 18.（本题满分12分）城市道路由于通勤、施工等因素，容易出现早晚高峰.一般地，工作日早高峰时段通常在7:00－9:00，晚高峰时段通常在17:00－19:00.为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度.路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行驶速度，可将拥堵程度分为1到5级.等级划分如表（单位：）： 路段 等级 5 4 3 2 1 快速路 主干路 次干路 支路 某大桥是连接两地的快速路.今在某高峰时段监测大桥的汽车平均行驶速度，得到如下频率分布直方图. （1）求车速在内的频率； （2）根据统计学知识，估计该时段大桥拥堵程度的等级. 19.（本题满分12分）平面直角坐标系中，，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）过点作轴上的垂线，为垂足.若_________，当点运动时，求点的轨迹方程. 在①，②这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题. （若选择多个条件作答，则按照第一个解答计分） 20.（本题满分12分）已知圆经过点和，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若，分别是圆和圆：上的点，点是直线上的点，求的最小值，以及此时点的坐标. 21.（本题满分12分）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度. 22.（本题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点.记直线和的斜率分别为，，求证：为定值. 2022学年第一学期浙东北联盟期中联考 高二年级数学学科答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的. 1-5：DABBC 6-8：CCB 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. ACD 10. BD 11. BC 12. BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 14. 85 15. －3或0 16. （第13题若只答出一个正确答案，得3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 解答（1）； 5分 （2）或. 10分 （第（2）题若只答出一个正确答案，得3分） 18.（本题满分12分） 解答（1），解得， 频率为0.05. 6分 （2）， 10分 该时段大桥拥堵程度为2级. 12分 （第（2）题若答出拥堵程度为2级，但没有求出的或求错的，得2分） 19.（本题满分12分） 解答（1）设点，，则. 5分 （2）若选择①，设，则，即， 8分 从而，即点的轨迹方程为. 12分 若选择②，设，则，即， 8分 从而，则点的轨迹方程为. 12分 20.（本题满分12分） 解答（1）直线的中垂线为，联立，解得，即圆的圆心为，半径，其方程为. 6分 （2）注意到点和点在直线两侧，直线与两圆分别相离，， 11分 此时. 12分 21.（本题满分12分） 解答（1）若焦点，其到渐近线的距离，2分 ，解得， 4分 双曲线的方程为. 5分 （2）设点，，则. 由于，则，， 从而直线的方程为. 8分 联立，，， 10分 从而. 12分 （其它方法酌情给分） 22.（本题满分12分） （1）由题意知，又，则，，从而. 5分 （2）设直线：，，. 联立，则，. 7分 直线的方程为， 直线的方程为. 联立这两个直线方程，解得，从而， 即.同理，解得. 9分 由于直线的斜率 ，则，即证. 12分 （第（2）问仅根据特殊值等方法求出，没有其他过程的，得2分.其它方法酌情给分） 学科网（北京）股份有限公司