2022-2023学年江苏省无锡外国语学校九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的是( )
A. 3x2−1=2 B. ax2+5x+7=0
C. 2x4+3x2−5=0 D. x2+5x=0
2. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的( )
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
3. 已知△ABC∽△A′B′C′,且相似比为3:1,则下列结论错误的是( )
A. AB是A′B′的3倍 B. ∠A是∠A′的3倍
C. 周长之比为3:1 D. 面积之比为9:1
4. 已知关于x的方程x2+kx−3=0有一个根为x=1,则实数k的值为( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
5. 某企业2018年初获利润300万元,到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是( )
A. 300(1+x)=507
B. 300(1+x)2=507
C. 300(1+x)+300(1+x)2=507
D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=507
6. 下列每张方格纸上都有一个三角形,仅用圆规就能作出三角形外接圆的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD//AB,并与⊙O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为( )
A. 15°
B. 35°
C. 25°
D. 45°
8. 如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,经过A,D两点的⊙O与边BC相切于点E,则⊙O的半径为( )
A. 4
B. 214
C. 5
D. 254
9. 如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是AB边上一点,BF=3AF,则下列四个结论:①△AEF∽△DCE;②CE平分∠DCF;③CE是CD与CF的比例中项;④直线AD是△CEF外接圆的切线.其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图,等边△ABC边长为3,O是AB中点,点P沿A→C→B的路径运动,连接OP,H、E分别是OP、AC上的点,F、G在AB上,若点P运动的某段路程中正方形EFGH始终存在,则满足条件的点P运动的路径长度为( )
A. 63−6
B. 33
C. 4.5
D. 6
二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)
11. 请写出一个一元二次方程,使得它的一个根为0,另一个根不为0:______.
12. 在比例尺为1:500000的地图上,量得A、B两地的距离为3cm,则A、B两地的实际距离为______km.
13. 若a2+4a=5,则代数式2a(a+2)−(a+1)(a−1)的值为______.
14. 若圆O的半径是5,圆心的坐标是(0,0),点P的坐标是(−4,3),则点P与⊙O的位置关系是______.
15. 如图,AB是⊙O的弦,AC切⊙O于点A,BC经过圆心.若∠C=40°,则∠B=______.
16. 如图,在圆内接四边形ABCD中,∠C=135°,AB⊥BD,以AB为y轴,BD为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,若点A的坐标为(0,3),则圆的直径长度是______.
17. 如图,平面直角坐标系中,以第一个矩形ODAE的边AE为边向上作正方形①,以DF为边向右作正方形②,得到第二个矩形OGBH,以此类推,得到第3个矩形、第4个矩形…若这些矩形右上角的顶点A、B、C…,与原点O在同一直线上,则这条直线的函数解析式为______.
18. 在正方形ABCD中,AB=2,E是直线CD上的动点,连接AE、BE,F是AE上一点,连接BF,使∠AFB=∠ABE,则AF⋅AE的值为______,在E运动的过程中BF的最小值为______.
三、解答题(本大题共10小题,共96.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. (本小题8.0分)
选择合适的方法解方程:
(1)x2−5x+4=0;
(2)(x+1)2−4=0.
20. (本小题8.0分)
根据要求的方法解方程:
(1)2x2−3x+1=0(公式法);
(2)x2+4x−1=0(配方法)
21. (本小题10.0分)
如图,在▱ABCD中,点E在BC上,∠CDE=∠DAE.
(1)求证:△ADE∽△DEC;
(2)若AD=6,DE=4,求BE的长.
22. (本小题10.0分)
在4月23日世界读书日来临之际,为了解某校九年级(1)班同学们的阅读爱好,要求所有同学从4类书籍中(A:文学类;B:科幻类;C:军事类;D:其他类),选择一类自己最喜欢的书籍进行统计.根据统计结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息回答问题:
(1)九年级(1)班的学生总数为______;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,A的扇形圆心角度数为______°,m的值为______;
(4)如果选择C类书籍的同学中有2名女同学,其余为男同学,现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动,恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为______.
23. (本小题10.0分)
我校新城校区新建一个三层停车楼,每一层布局如图所示.已知每层长为50米,宽20米.阴影部分设计为停车位,地面需要喷漆,其余部分是等宽的通道,已知喷漆面积为736平方米.
(1)求通道的宽是多少米?
(2)据调查分析,停车场多余64个车位可以对外出租,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出;当每个车位的月租金每上涨10元,就会少租出1个车位,当每个车位的月租金上涨多少元时,既能优惠大众,又能使对外开放的月租金收入为14400元?
24. (本小题10.0分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长CA到点D,以AD为直径作⊙O,交BA的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,AC=4,AE=8,求BF的长.
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上(OA>OB),C(a,−a)(a为常数),以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C,使点A、B在⊙C上.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C.(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若OA=8,OB=6,直线y=x+b与⊙C有且只有一个公共点,则b=______.
26. (本小题10.0分)
已知:以O为圆心的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为AB上一动点,射线AC交射线OB于点D,过点D作OD的垂线交射线OC于点E,连结AE.
(1)如图1,当四边形AODE为矩形时,求∠ADO的度数;
(2)当扇形的半径长为5,且AC=6时,求线段DE的长;
(3)连结BC,试问:在点C运动的过程中,∠BCD的大小是否不变?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
27. (本小题10.0分)
如图,Rt△ABC,∠ABC=3∠C=90°,将△ABC绕B点逆时针旋转为△BDE,BE交AC于F,过A作AG⊥AC交BD于G,连接GF,AF=m,AG=n.
(1)当DE经过点A时,求△AGF与△ABC的面积比值;
(2)当△ABC是△AGF面积的6倍,求m:n的值.
28. (本小题10.0分)
我们知道,平面直角坐标系中,若M(x1,y1)、N(x2,y2),则MN的长度可表示为(x1−x2)2+(y1−y2)2.若点B与点A(2,2)关于原点对称,P(x,y)为第一象限内动点,且PA+4=PB.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若△PAB的面积为2,求P点坐标;
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:A、3x2−1=2是一元二次方程,故此选项符合题意;
B、ax2+5x+7=0未指明a≠0,不一定是一元二次方程,故此选项不合题意;
C、含有一个未知数,未知数x的最高次数是4次,所以该方程不是一元二次方程,故此选项不合题意;
D、含有分式,不是一元二次方程,故此选项不合题意;
故选:A.
利用一元二次方程定义进行解答即可.
此题主要考查了一元二次方程定义,关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.
2.【答案】D
【解析】解:∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618,
又黄金分割比为−1+52≈0.618,
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割,
故选:D.
利用黄金分割比的意义解答即可.
本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系,熟悉线段的黄金分割是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为3:1,
∴AB:A′B′=3:1,∠A=∠A′,A正确,不符合题意;B错误,符合题意;
∴周长之比为3:1,面积之比为9:1,
∴C、D均正确,不符合题意.
故选:B.
根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解.
本题考查了相似三角形的性质,主要利用了相似三角形对应边的比等于相似比,相似三角形的对应角相等,比较简单,熟记性质是解题的关键.
4.【答案】C
【解析】解:把x=1代入关于x的方程x2+kx−3=0中得:
1+k−3=0,
解得k=2.
故选:C.
根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入原方程得到关于k的一元一次方程,然后解此方程即可.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
设这两年的年利润平均增长率为x,根据2018年初及2020年初的计划利润,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】
解:设这两年的年利润平均增长率为x,
根据题意得:300(1+x)2=507.
故选:B.
6.【答案】C
【解析】解:A、∵仅用圆规不能确定圆心,
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆,本选项不符合题意;
B、∵仅用圆规不能确定圆心,
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆,本选项不符合题意;
C、如图,由勾股定理得:AC2+BC2=42+22+22+12=25,AB2=32+42=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴AB是△ABC的外接圆的直径,
由三角形中位线定理可知,点O是AB的中点,
∴仅用圆规就能作出三角形外接圆,本选项符合题意;
D、∵仅用圆规不能确定圆心,
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆,本选项不符合题意;
故选:C.
对于B选项,根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°,根据圆周角定理判断即可.
本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握圆周角定理、勾股定理的逆定理是解题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:∵AB=AC,∠BCA=65°,
∴∠ABC=∠BCA=65°,
∴∠BAC=18