《椭圆的简单几何性质(1)》教案
◆ 教学目标
1.掌握椭圆的简单几何性质.
2.能根据几何条件求出椭圆标准方程,利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形.
◆ 教学重难点
◆
重点:掌握椭圆的简单几何性质.
难点:利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形.
◆ 教学过程
一、 新课导入
我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程,接下来,与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样,我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
二、新知探究
问题1 由椭圆C的标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0 ①和图象,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
1.范围
由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x, y)总满足x2a2⩽1.y2b2⩽1,即-a⩽x⩽a,-b⩽y⩽b.
这说明椭圆C位于四条直线:x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形区域内.
2.对称性
根据椭圆方程的结构特点,可以发现:若(x0,y0)是椭圆方程的一组解,即x02a2+y02b2=1,则(x0,-y0),(-x0,y0) ,(-x0,-y0)也是方程的解,这说明:若点P(x0,y0)在椭圆上,则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x0,-y0),P2(-x0,y0),P3(-x0,-y0)也在椭圆上.这说明椭圆x2a2+y2b2=1既是关于x轴和y轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形.这个中心称为椭圆的中心.
3.顶点
在椭圆C的标准方程①中,当x=0时, y=±b.这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆C与y轴的两个交点.同理,当y=0时,x=±a,即A1(-a,0) ,A2(a,0)是椭圆C与x轴的两个交点.
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点.这四个交点叫作椭圆的顶点.
椭圆x2a2+y2b2=1的四个顶点分别为:A1(-a,0) ,A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).
线段A1A2,B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴,
且|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.
a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
问题2:观察图象,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,这是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量来刻画椭圆的扁平程度吗?这个量对椭圆的形状有何影响?
答案:我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用e表示,即ca=e.
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=ca=e,显然0
b>0 和图象可以获得椭圆的哪些几何性质呢?并与椭圆焦点在x轴时进行比较.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
范围
-a⩽x⩽a且-b⩽y⩽b
-a⩽y⩽a且-b⩽x⩽b
顶点
A1(-a,0) ,A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a) ,A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴.对称中心:坐标原点
离心率
0b>0 和图象获得椭圆的简单几何性质,并与椭圆焦点在x轴时进行列表比较:
注意:(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
(4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点.
(5)P为短轴端点时,∠F1PF2最大.
三、应用举例
例1求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
解 将已知方程化为椭圆的标准方程
x225+y29=1
则a=5,b=3,c=a2-b2=4.
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是
2a=10,2b=6,
离心率是
e=ca=45.
两个焦点分别是
F1(-4,0),F2(4,0).
椭圆的四个顶点分别是
A1(-5,0) ,A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).
将方程变形为y=±3525-x2,由y=3525-x2,在0⩽x⩽5的范围内计算出一些点的坐标(x,y),如下表(y的值精确到0.1).
x
0
1
2
3
4
5
y
3.0
2.9
2.7
2.4
1.8
0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图).
例2 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>1)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
解 由已知得x21m2+y214m2=1(m>1),
因为014m2.
所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=1m,
半短轴长b=12m,半焦距c=32m,
所以椭圆的长轴长2a=2m,短轴长2b=1m.
焦点坐标为(-32m,0),(32m,0)
顶点坐标为(1m,0),(-1m,0),(0,-12m),(0,12m),
离心率e=ca=32m1m=32.
总结:用方程研究椭圆几何性质的步骤:
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论) .
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
例3 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如下图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上,上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为 .
解 设航天员到地球表面最近距离时在点P,最远距离时在点P1,
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,半焦距为c,
两焦点分别为F1,F2,飞行中的航天员为点P,
由已知可得d1+R=a-cd2+R=a+c
则2a=d1+d2+2R
故传送神秘信号的最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2.
四、课堂练习
1.请说明椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0中a,b的几何意义,并画图进行相应标记.
2.根据下列条件,求椭圆的离心率:
(1)长轴与短轴之比为3∶2;
(2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.
3.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标,并以矩形为参照画出椭圆的图形:(1)x2+4y2=4;(2)9x2+4y2=36.
参考答案:1.a为长半轴长,b为短半轴长,c为半焦距长,e为离心率,它们在图中的标记如图所示.
2.(1)由题意不妨设a=3,b=2,则c=a2-b2=5,e=ca=53;
(2)由题意得b=3c, a2=b2+c2=43c2,a=23c, e=ca=32.
3.(1)由题意得标准方程x24+y2=1,可得长轴2a=4,短轴2b=2,焦距2c=23,离心率e=32,焦点-3,0,3,0,顶点-2,0,2,0,0,-1,0,1.
(2)由题意得标准方程x24+y29=1,可得长轴2a=6,短轴2b=4,焦距2c=25,离心率e=52,焦点0,-5,0,5,顶点-2,0,2,0,0,-3,0,3.
五、课堂小结
椭圆的简单几何性质:
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
范围
-a⩽x⩽a且-b⩽y⩽b
-a⩽y⩽a且-b⩽x⩽b
顶点
A1(-a,0) ,A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a) ,A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴.对称中心:坐标原点
离心率
0
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