顺义区2023届高三第一次统练
数学试卷
考生须知:
1.本试卷共5页,共两部分,第一部分共10道小题,共40分,第二部分共11道小题,共110分,满分150分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上,选择题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由集合的交集运算得出答案.
【详解】,,
,
故选:C.
2. 在复平面内,复数对应的点的坐标为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,结合复数的运算,代入计算,即可得到结果.
【详解】因为复数对应点的坐标为,则
所以
故选:A
3. 的展开式中的常数项为
A. B. C. 6 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令的指数为求出,将的值代入通项求出展开式的常数项.
【详解】解:二项式展开式的通项为,
令,解得,
所以展开式的常数项为.
故选:D
4. 若等差数列和等比数列满足,则的公差为( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比,公差的关系求解.
【详解】设等差数列的公差为,等比数列的公比为
,又
又
,
故选:A
5. 函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析给定函数的奇偶性、单调性即可判断作答.
【详解】函数定义域为R,,函数是R上的奇函数,
函数的图象关于y轴对称,选项A,D不满足;
因为函数在R上单调递增,在R上单调递减,则函数在R上单调递增,选项C不满足,B满足.
故选:B
6. 若双曲线的离心率为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.
【详解】,
由于,所以,
所以,
故选:C
7. 已知,,则“存在使得”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值,结合充分、必要条件知识进行推理可得.
【详解】若存在使得,
则,
∴,即,
∴存在使得,
∴“存在使得”是“”的充分条件;
当时,,此时
∴存在使得,
∴“存在使得”不是“”的必要条件.
综上所述,“存在使得”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.于年提出蓄电池的容量(单位:),放电时间(单位:)与放电电流(单位:)之间关系的经验公式:,其中为常数.为测算某蓄电池的常数,在电池容量不变的条件下,当放电电流时,放电时间;当放电电流时,放电时间.若计算时取,则该蓄电池的常数大约为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得出,可得出,利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得,所以,,所以,,
所以,.
故选:B
9. 在棱长为1的正方体中,动点P在棱上,动点Q在线段上、若,则三棱锥的体积( )
A. 与无关,与有关 B. 与有关,与无关
C. 与都有关 D. 与都无关
【答案】D
【解析】
【分析】根据得出平面,所以点到平面的距离也即到平面的距离,得到点到平面的距离为定值,而底面的面积也是定值,并补随的变化而变化,进而得到答案.
【详解】因为为正方体,所以
因为平面,平面,所以平面,
所以点到平面的距离也即到平面的距离,也即点到平面的距离不随的变化而变化,设点到平面的距离为,过点作,根据正方体的特征可知:平面,因为平面,所以,,所以平面,则有,
因为且,所以四边形为平行四边形,所以,
所以点到的距离也即到的距离,且距离为1,所以(定值),
所以(定值),
则三棱锥的体积不随与的变化而变化,也即与与都无关.
故选:.
10. 已知点A,B在圆上,且,P为圆上任意一点,则的最小值为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可设,,然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.
【详解】因为点A,B在圆上,且,P为圆上任意一点,
则,设,,
所以,
所以,
即的最小值为
故选:D.
【点睛】方法点睛:向量数量积问题常用方法
一是利用基底法,结合平面向量基本定理及数量积的定义求解;
二是利用坐标法,结合图形建立坐标系,求出向量的坐标,进而求其数量积.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11. 函数的定义域为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,列出不等式,求解即可得到结果.
【详解】因为函数
则,解得且
所以函数的定义域为
故答案为:
12. 已知圆,点A、B在圆M上,且为的中点,则直线的方程为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理得到,根据两直线垂直时斜率的关系得到,
然后利用斜截式写直线方程,最后整理为一般式即可.
【详解】可整理为,
所以圆心为,根据垂径定理可得,,
所以,直线AB的方程为整理得.
故答案为:
13. 若存在使得,则m可取的一个值为_____________.
【答案】(内的任一值均可)
【解析】
【分析】根据题意可知:函数有零点,则,解之即可,在所得到的范围内任取一个值即可求解.
【详解】因为存在使得,
也即函数有零点,则有,解得:,
所以可取内的任意一个值,取,
故答案为:.(内的任一值均可)
14. 在中,,,,则___________,_____________.
【答案】 ① ## ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理化简可得出的值,结合角的取值范围可得出角的值;利用余弦定理可得出关于的等式,结合可得出的值.
【详解】因为,由正弦定理可得,
因为、,则,所以,,则,故,
由余弦定理可得,即,,解得.
故答案为:;.
15. 如果函数满足对任意s,,有,则称为优函数.给出下列四个结论:
①为优函数;
②若为优函数,则;
③若为优函数,则在上单调递增;
④若在上单调递减,则为优函数.
其中,所有正确结论的序号是______________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】①计算出,故,得到①正确;
②赋值法得到,,依次类推得到;
③举出反例;
④由在上单调递减,得到,整理变形后相加得到,即,④正确.
【详解】因为,
所以
,
故,故是优函数,①正确;
因为为优函数,故,即,
,故,
同理可得,……,,②正确;
例如,满足,
即,为优函数,但在上单调递减,
故③错误;
若在上单调递减,
任取,,
则,即,
变形为,
两式相加得:,
因为,所以,
则为优函数,④正确.
故答案为:①②④
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧:
(1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解;
(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻;
(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律;
(4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数的一个零点为.
(1)求A和函数的最小正周期;
(2)当时,若恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【解析】
【分析】(1)解方程即可求,然后把函数降幂,辅助角公式后再求周期.
(2)若恒成立,即求.
【小问1详解】
的一个零点为
,即,
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
当时有最大值,即 .
若恒成立,即,
所以,故的取值范围为.
17. 为调查A,B两种同类药物在临床应用中的疗效,药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间,经整理得到如下数据:
康复时间
只服用药物A
只服用药物B
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率,且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.
(1)若一名患者只服用药物A治疗,估计此人能在14天内康复的概率;
(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人,以X表示这2人中能在7天内康复的人数,求X的分布列和数学期望:
(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人,用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率,其中.当最大时,写出k的值.(只需写出结论)
【答案】(1)
(2)分布列见解析,数学期望为1
(3)2
【解析】
【分析】(1)结合表格中数据求出概率;
(2)先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率,得到X的可能取值及相应的概率,得到分布列和期望;
(3)求出只服用药物A的患者中,14天内未康复的概率,利用独立性重复试验求概率公式得到,列出不等式组,求出,结合得到答案.
【小问1详解】
只服用药物A的人数为人,且能在14天内康复的人数有人,
故一名患者只服用药物A治疗,估计此人能在14天内康复的概率为;
【小问2详解】
只服用药物A的患者7天内康复的概率为,
只服用药物B的患者7天内康复的概率为,
其中X的可能取值为,
,,
,
则分布列:
0
1
2
数学期望为;
【小问3详解】
只服用药物A的患者中,14天内未康复的概率为,
,
令,即,
解得:,因为,所以.
18. 如图,在四棱锥中,侧面为等边三角形,,,E是的中点.
(1)求证:直线∥平面;
(2)已知,点M在棱上,且二面角的大小为,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求的值.
条件①:平面平面;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【解析】
【分析】(1)根据中位线定理和线面平行判定即可求解;(2)根据线面垂直的判定或性质,以及建立空间直角坐标系,利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.
【小问1详解】
取PA中点F,
连接,
因为E是的中点,F是PA中点,
所以是中位线,
所以平行且等于AD的一半,
因为,
所以平行于,
又,
所以与平行且相等,
所以四边形BCEF为平行四边形,
所以CE平行于BF,
而平面,
平面,
所以直线∥平面.
【小问2详解】
若选①:平面平面,
取AD中点O,
因为侧面为等边三角形,
所以平面,
易证平面,
以O点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,
所以,
所以,
所以
所以,
所以,,
设平面的一个法向量为,
所以,
令,
解得,
所以,