长春市实验中学2023届高三二模考试
数学试卷
考试时间:120分钟 分值:150分
第I卷 选择题(60分)
一、单选题(每小题5分)
1. 已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的定义运算即得.
【详解】∵,
∴.
故选:A.
2. 函数的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性,再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解:的定义域为,又与在上单调递增,
所以在上单调递增,
又,,,
所以,所以在上存在唯一的零点.
故选:C
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开,平方后再利用,,去进行整理可得.
【详解】因为,所以,平方后可得,整理得,所以.
故选:D.
4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:)可以表示为,其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A. 2600 B. 2700 C. 26 D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中函数关系式,令和,分别求出对应的,即可得出结果.
【详解】因为鲑鱼的游速(单位:)可以表示为,其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数,
当一条鲑鱼静止时,,此时,则,耗氧量为;
当一条鲑鱼以的速度游动时,,此时,
所以,则,即耗氧量为,
因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.
故选:D.
5. 已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系.
【详解】,
.
故选:C
6. 已知函数,,那么“”是“在上是增函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求得当时,是增函数,进而判断时,函数的单调性,即可得出结果.
【详解】当,, 单调递增.
则当时,是增函数,
当时, 在单调递增,可得在上是增函数;
当时, 在单调递增,可得在上是增函数;
反之,当在上是增函数时,由,可知,此时,即不成立.
所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.
故选:A.
7. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则下列结论中错误的是( )
A. 当时,
B. 函数有3个零点
C. 的解集为
D. ,都有
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数求出的解析式即可判断A选项;解方程求出零点即可判断B选项;解分段函数不等式即可判断C选项;求导确定单调性得出函数图象,即可判断D选项.
【详解】对于A,已知函数是定义在上的奇函数,当时,,,则,A错误;
对于B,易得,当时,,可得;当时,,可得,则函数有3个零点,B正确;
对于C,由,当时,由得;
当时,由得,则的解集为,C正确;
对于D,当时,,,当时,,单减,此时;
当时,,单增,,时,;时,有极小值;
结合函数是定义在上的奇函数,可得的图象,
结合图象知,的值域为,则,都有,D正确.
故选:A.
8. 设函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,当,,若,则=( )
A. - B. - C. - D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图像变换以及奇偶性,可得函数的所有对称中心和对称轴,进而可得函数的周期,以及所过的点,求得部分解析式,可得答案.
【详解】根据函数的图像变换,由为偶函数,为奇函数,
则直线,分别为函数的对称轴与对称中心,
即函数的对称轴的方程为与对称中心坐标为,
易知,函数的周期,
由,则,即,且,
可得方程:,解得,即当,,
.
故选:C.
二、多选题(每小题5分)
9. 下列函数中,与函数不是同一个函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数,一一判断即可.
【详解】解:的定义域为.
对于A,的定义域为,与的定义域不同,不是同一函数;
对于B,定义域为,与定义域相同,对应关系相同,是同一函数;
对于C,的定义域为,与定义域不同,不是同一函数;
对于D,,与的对应关系不同,不是同一函数.
故选:ACD.
10. 已知函数(其中,,)的部分图象如图所示,则( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 在上的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】结合函数图像求出的解析式,进而判断AC;利用代入检验法可判断B;利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D.
【详解】由图像可知,,,故A正确;
从而,
又由,,
因为,所以,
从而,故C正确;
因为,
所以不是的对称轴,故B错误;
当时,则,
因为在上单调递减,在上单调递增,
所以,
因为,,所以,
故,即,
从而,
即在上的值域为,故D错误.
故选:AC.
11. 已知函数,则( )
A. 有三个零点 B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B,根据函数关于点对称的充要条件判断C,再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.
【详解】,,
令,解得:或,
时,,单调递减;
时,,单调递增;
时,,单调递减;
的极小值为:,
的极大值为:,
有三个零点,有两个极值点,A、B正确;
对于C,若点是曲线的对称中心,则有,
将函数代入上式验证得:
,C正确;
对于D,,解得:,
当时,,当时,,
切线方程为:或,D错误.
故选:ABC.
12. 锐角的内角的对边分别为,若,则( )
A.
B. 的取值范围是
C. 若,则
D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A:由正弦定理得到,利用正弦函数的性质可得到,即可判断;
对于B:由为锐角三角形,列不等式组,解得:,即可判断;
对于C:先由正弦定理得到,再由余弦定理解得.
对于D:由正弦定理得到,由,求出的取值范围.
【详解】对于A:在中,由正弦定理,可化为:.
因为,所以,所以,
所以.
所以,即.
或,即这与A为的内角相矛盾,舍去.故.故A正确;
对于B:因为为锐角三角形,所以,所以,解得:.故B错误;
对于C:因为,由正弦定理得:,即,所以.
因为,由余弦定理得:,所以,
即,即,解得:(舍去).故C正确;
对于D:由正弦定理,.
因为,所以,所以,即的取值范围是.
故D正确.
故选:ACD
第II卷(非选择题,90分)
三、填空题(每小题5分)
13. 已知函数,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】代入分段函数逐步求解即可求出结果.
【详解】因为,所以,
因此.
故答案为:.
14. 已知角的终边经过点,则的值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到,,进而得到答案.
【详解】角的终边经过点,
,,
.
故答案为:.
15. 如图,为了测量两山顶,间的距离,飞机沿水平方向在,两点进行测量,在位置时,观察点的俯角为,观察点的俯角为;在位置时,观察点的俯角为,观察点的俯角为,且,则,之间的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】在中,由正弦定理可得,,在中,由余弦定理得
,从而可得结果.
【详解】在中,,
由正弦定理可得,即,
,
由题意得,
,
在中,由余弦定理得
,
即,故答案为.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
16. 已知函数,,若,使得成立,则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】,使得成立当时,,
分别求出,然后解不等式即可.
【详解】,使得成立当时,.
由题意得,当时,,当时,,
故在上的最小值为.
又函数在上的最大值为,故.
答案为:
四、解答题
17. 已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程;
(2)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,求在[0,2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为,对称轴方程为,
(2)
【解析】
【分析】(1)利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得,再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可;
(2)根据三角函数图形变换的性质可得,再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【小问1详解】
,
,
所以函数的最小正周期为,
令,,得函数的对称轴方程为,
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为,
所以,
令,
所以.又,
所以在上的单调递减区间为.
18. 在中,,,.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据同角的三角函数关系式,结合,可以求出的值,运用正弦定理,可以求出a的值;
(Ⅱ)由,,运用诱导公式,可以求出值,根据同角的三角函数关系式,可以求出的值,运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出,最后利用二倍角的余弦公式求出的值.
【详解】解:(Ⅰ)在中,由,得.
因为,
由正弦定理,
得,即,
所以.
(Ⅱ)因为,,
所以,.
所以.
故.
【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的余弦公式,考查了两角和的正弦公式,考查了数学运算能力.
19. 某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品,每袋桃酥的成本为6元,预计当一袋桃酥的售价为元时,一年的销售量为万袋,并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价(一年销售桃酥的成本一年的管理费).(单位:万元)
(1)求该超市一年的利润(万元)与每袋桃酥食品的售价的函数关系式;
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时,该超市一年的利润最大,并求出的最大值.
【答案】(1);
(2)售价为9元时,利润最大为9万元
【解析】
【分析】(1)直接由题目所给关系即可求得利润(万元)与售价的函数关系式;
(2)将函数关系式变形整理得,结合基本不等式即可求出最大值.
【小问1详解】
由题意知,分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为;
【小问2详解】
,因为,所以,
当且仅当即时取等号,此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时,该分公司一年的利润最大,且最大利润9万元.
20. 已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若对恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1)的极大值为,极小值为;(2).
【解析】
【分析】(1)利用导数求解函数的极值即可.
(2)首先利用导数求出函数的最小值,从而得到,再解不等式即可.
【详解】(1)当时,,
,
令,解得或.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以的极大值为,极小值为.
(2).
令,即,解得或.
因为,所以当x变化,,的变化情况如下表: