湖南省株洲市槚山中学2022年高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U=N,集合,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
2. 直线和直线平行,则( )
A. B. C.7或1 D.
参考答案:
B
略
3. 已知等比数列{an}中,an+1=36,an+3=m,an+5=4,则圆锥曲线+=1的离心率为( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
C
【考点】曲线与方程.
【分析】由等比数列{an}中,an+1=36,an+3=m,an+5=4,得m=±12,由此能求出圆锥曲线+=1的离心率.
【解答】解:∵等比数列{an}中,an+1=36,an+3=m,an+5=4,
∴m2=36×4,
∴m=±12.
m=﹣12,该圆锥曲线的方程为: =1,为焦点在y轴上的双曲线,其中a2=3,b2=12,
∴c2=a2+b2=15,离心率e=.
m=﹣2,该圆锥曲线的方程为: =1,为焦点在x轴上的椭圆,其中a2=12,b2=3,
∴c2=a2﹣b2=9,离心率e=.
故选C.
4. 如图,随机向大圆内投一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 设m=﹣,n=﹣,p=﹣,则m,n,p的大小顺序为( )
A.m>p>n B.p>n>m C.n>m>p D.m>n>p
参考答案:
D
【考点】不等关系与不等式.
【分析】不妨设m>n,由此得出m>n,同理得出n>p,即可得出m、n、p的大小顺序.
【解答】解:∵m=﹣>0,n=﹣>0,p=﹣>0,
不妨设m>n,则﹣>﹣,
∴11﹣2>13﹣2,
∴>1+,
∴42>31+2,
∴11>2,
∴121>120,
∴m>n,
同理n>p;
∴m、n、p的大小顺序是m>n>p.
故选:D.
6. 函数在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
7. 已知全集,集合, ,则图中的阴影部分表示的集合为
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知、均为正数,且满足,则的最大值是( )
A. B. 4 C. 5 D.
参考答案:
D
9. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 设函数是定义在的非负可导的函数,且满足,对任意的正数,若,则必有( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 内接于以为圆心,1为半径的圆,且0,则= .
参考答案:
12. 抛物线在点 处的切线平行于直线。
参考答案:
(2,4)
13. 已知sin2θ+sinθ=0,θ∈(,π),则tan2θ= .
参考答案:
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】由已知等式化简可得sinθ(2cosθ+1)=0,结合范围θ∈(,π),解得cosθ=﹣,利用同角三角函数基本关系式可求tanθ,利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值.
【解答】解:∵sin2θ+sinθ=0,
?2sinθcosθ+sinθ=0,
?sinθ(2cosθ+1)=0,
∵θ∈(,π),sinθ≠0,
∴2cosθ+1=0,解得:cosθ=﹣,
∴tanθ=﹣=﹣,
∴tan2θ==.
故答案为:.
14. 已知直线的参数方程为:,圆C的极坐标方程为,那么,直线l与圆C的位置关系是__________.
参考答案:
相交
解析:直线l的直角坐标方程为,圆C的直角坐标方程为,圆心到直线的距离,直线l与圆C的位置关系是相交.
15. 由约束条件,确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
【考点】简单线性规划.
【分析】先画出由约束条件确定的可行域D,由可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的,判断出直线y=kx+1斜率小于等于即可得出k的范围.
【解答】解:∵可行域能被圆覆盖,
∴可行域是封闭的,
作出约束条件的可行域:
可得B(0,1),C(1,0),|BC|=,
结合图,要使可行域能被为半径的圆覆盖,
只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部,
两条直线垂直时,交点恰好在圆上,此时k=,
则实数k的取值范围是:.
故答案为:.
16. 已知函数f(x)=Atan(x+)(>0,),y=f(x)的部分图像如下图,则f()=____________.
参考答案:
本题主要考查了正切函数的图像及其性质,考查了识图能力.,难度中等.。由图知,故,对称中心为,因此,,故,所以,,得,.
17. (选修4—5 不等式选讲)已知都是正数,且,则的最小值为 .
参考答案:
6+
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 北京市某单位有车牌尾号为2的汽车和尾号为6的汽车,两车分属于两个独立业务部门,现对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,车日出车频率0.6,车日出车频率0.5.北京地区汽车限行规定如下:
车尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且两车出车相互独立.
(1)求该单位在星期一恰好出车一台的概率;
(2)设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求的分布及其数学期望.
参考答案:
(1)0.5.(2)详见解析
考点:古典概型概率,数学期望
【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.
19. 如图,在四棱锥中,底面为菱形,,为的中点.
(1)若,求证:平面平面;
(2)点在线段上,,若平面平面,且,求平面与平面夹角的大小.
参考答案:
(1)详见解析(2)60°
(2)∵为的中点,
∴,
考点:线面垂直的判定与性质定理,利用空间向量求二面角
【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
20. 不等式选讲.
设a,b是非负实数,求证:.
参考答案:
略
21. 已知是奇函数,且,
(1)求实数p和q;
(2)求f(x)的单调区间.
参考答案:
(1)是奇函数,
即
又
(2)
,令即为增区间
令即为减区间.
22. 已知△ABC中角A,B,C对边分别为a,b,c,且满足.
(Ⅰ)求A的值;
(Ⅱ)若,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=cosA+1,从而解得sin(A﹣)=.根据A为三角形内角,即可求得A的值.
(Ⅱ)由已知及(Ⅰ)可求C,设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得:b﹣a=2R(﹣)=﹣,即可解得R,可求a,b,利用三角形面积公式即可得解.
【解答】解:(Ⅰ)∵△ABC中,角A、B、C的对应边分别为a、b、c,且满足2asin(C+)=b+c,
∴2asinCcos+2acosCsin=asinC+acosC=b+c,
∴sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC,
∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,
∴sinAsinC=cosAsinC+sinC,
∴由sinC≠0,可得: sinA=cosA+1,
∴2sin(A﹣)=1,sin(A﹣)=,
∴A=.
(Ⅱ)∵设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得:b﹣a=2R(sinB﹣sinA)=2R(﹣)=﹣,
∴R=1,可得:a=,b=,
∵C=π﹣B﹣A=,
∴sinC=,
∴S△ABC=absinC==.
【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,正弦函数的图象和性质,三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.