湖南省郴州市资兴皮石学校2021年高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 设,,,则a、b、c的大小关系是( )
A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a
参考答案:
A
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数幂函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵<<,
∴b<c<a.
故选:A.
4. 已知, , 则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 如图,I是全集,A、B、C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.(?IA∩B)∩C B.(?IB∪A)∩C C.(A∩B)∩?IC D.(A∩?IB)∩C
参考答案:
D
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】先根据图中的阴影部分的元素属于哪个集合,不属于哪个集合进行判定,然后利用集合的交集和补集表示即可.
【解答】解:根据题图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C
则阴影部分所表示的集合是(A∩?IB)∩C
故选D.
6. 如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
参考答案:
D
7. 等差数列{an}满足,则其前10项之和为( )
A. -9 B. -15 C. 15 D.
参考答案:
D
由已知(a4+a7)2=9,所以a4+a7=±3,从而a1+a10=±3.
所以S10=×10=±15.
故选D.
8. 矩形ABCD中,,若在该矩形内随机投一点P,那么使得的面积不大于3的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
先求出的点的轨迹(一条直线),然后由面积公式可知时点所在区域,计算其面积,利用几何概型概率公式计算概率.
【详解】设到的距离为,,则,如图,设,则点在矩形内,,,
∴所求概率为.
故选C.
【点睛】本题考查几何概型概率.解题关键是确定符合条件点所在区域及其面积.
9. 点P(0,1)到直线的距离是
A.4 B.3 C.2 D.
参考答案:
C
略
10. 圆C1: 与圆C2:的位置关系是( )
A.外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的图象过定点A,若点A也在函数f(x)=2x+b的图象上,则f(log23)= .
参考答案:
﹣1
【考点】对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用.
【分析】先利用函数y=loga(x+3)﹣1的解析式得出其图象必过哪一个定点,再将该定点的坐标代入函数函数f(x)=2x+b式中求出b,最后即可求出相应的函数值f(log23).
【解答】解:∵函数y=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(2,0),
将x=2,y=0代入y=2x+b得:
22+b=0,∴b=﹣4,
∴f(x)=2x﹣4,
则f(log23)=﹣4=﹣1,
故答案为:﹣1
【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质,考查数形结合的数学思想,属于基础题.
12. 某公司的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示对呈线性相关关系。
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表提供的数据得到回归方程中的,预测销售额为115万元时约需 万元广告费.
参考答案:
15
13. 设集合A={1,3,5,7},B={2,3,4},则A∩B= .
参考答案:
{3}
【考点】交集及其运算.
【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.
【解答】解:∵A={1,3,5,7},B={2,3,4},
∴A∩B={3},
故答案为:{3}
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
14. ,集合,,若,则的值等于________;
参考答案:
略
15. 式子的值为___________。
参考答案:
略
16. 如上图,已知正三角形的边长为2,点为边的中点, 点为边上离点较近的三等分点,则= .
参考答案:
-1
17. 以,B(10,-1,6), C(2,4,3)为顶点的三角形的形状为 .
参考答案:
等腰直角三角形
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设三边长分别为,且.求的最小值.
参考答案:
解析:=
=
因为是三边长,且,所以 ,
于是
即
∴ .等号当且仅当时取到,
故的最小值为.
19. (本题满分12分)已知函数是偶函数
(1)求的值;
(2)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围。
参考答案:
(1)∵函数 f(x)= (+1)+kx(k∈R)是偶函数
∴ f(-x)= (+1)-kx= -kx= (4x+1)-(k+1)x= (4x+1)+kx恒成立
∴-(k+1)=k,则k=-———————4分
(2)g(x)= (a·-a),
函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程 f(x)=g(x)只有一个解
由已知得 (4x+1)-x= (a·-a)
∴= (a·-a)
———————8分
设。
若
20. 已知函数
(1)求函数的单调增区间;(2)当 时,求函数的值域;
(3)若将该函数图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,求函数的对称中心
参考答案:
略
21. 已知函数f(x)=log2()﹣x(m为常数)是奇函数.
(1)判断函数f(x)在x∈(,+∞)上的单调性,并用定义法证明你的结论;
(2)若对于区间[2,5]上的任意x值,使得不等式f(x)≤2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;对数函数的图象与性质.
【分析】(1)求出m的值,求出f(x)的解析式,根据函数单调性的定义证明即可;
(2)设g(x)=f(x)﹣2x,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出n的范围即可.
【解答】解:(1)由条件可得f(﹣x)+f(x)=0,即 ,
化简得1﹣m2x2=1﹣4x2,从而得m=±2;由题意m=﹣2舍去,
所以m=2,即,上为单调减函数;
证明如下:设,则f(x1)﹣f(x2)=log2()﹣x1﹣log2()+x2,
因为<x1<x2,所以x2﹣x1>0,2x1﹣1>0,2x2﹣1>0;
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2);
所以函数f(x)在x∈(,+∞)上为单调减函数;
(2)设g(x)=f(x)﹣2x,由(1)得f(x)在x∈(,+∞)上为单调减函数,
所以g(x)=f(x)﹣2x在[2,5]上单调递减;
所以g(x)=f(x)﹣2x在[2,5]上的最大值为,
由题意知n≥g(x)在[2,5]上的最大值,所以.
22. 已知函数为奇函数。
(I)证明:函数在区间(1,)上是减函数;
(II)解关于x的不等式。
参考答案:
(I)函数为定义在R上的奇函数,
……………………………………
函数在区间(1,)上是减函数。
(II)由
是奇函数,
又,且在(1,)上为减函数,
解得
不等式的解集是
略