湖南省衡阳市常宁第二中学2022年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由,
算得. 附表:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
参考答案:
C
因为K2≈7.8≥6.635,而P(K2≥6.635)=0.010,故由独立性检验的意义可知,相关的概率大于1-0.010=0.99,故选择C.
2. 不等式成立的一个充分不必要条件是…………………………………………( )
A.或 B.或
C. D.
参考答案:
D
略
3. 若实数a,b满足a>b,则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
4. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”,已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是( )
A.25日 B.40日 C. 35日 D.30日
参考答案:
D
5. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于.
A.13 B.35 C.49 D.63
参考答案:
C
6. 执行如图程序框图,输出的结果为( )
A.20 B.30 C.42 D.56
参考答案:
B
考点:程序框图.
专题:图表型;算法和程序框图.
分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n,T的值,当S=25,T=30时,满足条件T>S,退出循环,输出T=30.
解答: 解:模拟执行程序框图,可得
S=0,n=0,T=0
不满足条件T>S,S=5,n=2,T=2
不满足条件T>S,S=10,n=4,T=6
不满足条件T>S,S=15,n=6,T=12
不满足条件T>S,S=20,n=8,T=20
不满足条件T>S,S=25,n=10,T=30
满足条件T>S,退出循环,输出T=30,
故选:B.
点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的S,n,T的值是解题的关键,属于基本知识的考查.
7. 在右程序框图中,当N(n>1)时,函数表示函数的导函数.若输入函数,则输出的函数可化为
A. B.
C. D.
参考答案:
C
8. 函数的图象如右图所示,则导函数的
图象的大致形状是 ( )
A B C D
参考答案:
D
略
9. 抛物线与双曲线有相同的焦点,点A是两曲线的交点,且AFx轴,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
10. 复数满足,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第三象限
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s值等于____________。
参考答案:
-3
12. 已知正△ABC的边长为4,若在△ABC内任取一点,则该点到三角形顶点A、B、C距离都不小于2的概率为 .
参考答案:
1﹣π
【考点】几何概型.
【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积,再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积,然后代入几何概型公式即可得到答案.
【解答】解:满足条件的正三角形ABC如下图所示:
其中正三角形ABC的面积S三角形==4
满足点到三角形顶点A、B、C距离都小于2的区域如图中阴影部分所示,其加起来是一个半径为2的半圆,
则S阴影=π×22=2π,
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是
P===1﹣π.
故答案为:1﹣π
13. 若时,,则的取值范围是
参考答案:
【知识点】指数函数B6
α<1
解析:因为,所以α-1<0,得α<1.
【思路点拨】可直接利用底大于1时指数函数的单调性进行解答.
14. ()的展开式中的系数是
参考答案:
31
15. 若复数满足(是虚数单位),则复数的虚部是 .
参考答案:
16. 对于,有如下命题:①若,则为等腰三角形;②若则为直角三角形;③若则为钝角三角形.其中正确命题的序号是
参考答案:
略
17. 已知数列{an}中,a1=﹣1,an+1=2an+3n﹣1(n∈N*),则其前n项和Sn= .
参考答案:
2n+2﹣4﹣
【考点】数列的求和.
【分析】an+1=2an+3n﹣1(n∈N*),a1=﹣1,可得a2=0.n≥2时,an=2an﹣1+3n﹣4,相减可得:an+1﹣an+3=2(an﹣an﹣1+3),利用等比数列的通项公式可得:an﹣an﹣1+3,利用“累加求和”方法可得an.再利用等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:∵an+1=2an+3n﹣1(n∈N*),a1=﹣1,∴a2=0.
n≥2时,an=2an﹣1+3n﹣4,
相减可得:an+1﹣an=2an﹣2an﹣1+3,
化为:an+1﹣an+3=2(an﹣an﹣1+3),
∴数列{an﹣an﹣1+3}为等比数列,首项为4,公比为2.
∴an﹣an﹣1+3=4×2n﹣2,∴an﹣an﹣1=2n﹣3.
∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1
=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1,
=﹣3(n﹣1)﹣1
=2n+1﹣3n﹣2.
∴其前n项和Sn=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣.
故答案为:2n+2﹣4﹣.
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
的内角的对边分别为,已知,三个内角成等差数列。
(1)若,求;
(2)求的最大值。
参考答案:
19. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)设点 ,直线l和曲线C交于A、B两点,求的值.
参考答案:
(1),;(2).
【分析】
(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程,利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程;(2)先证明点P在直线l上,再利用直线参数方程t的几何意义解答.
【详解】(1)因为曲线C的参数方程为(为参数),
所以曲线C的普通方程为.
因为,
所以.
所以直线的直角坐标方程为.
(2)由题得点在直线l上,直线l的参数方程为,
代入椭圆的方程得,
所以,
所以.
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直线参数方程t的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20. 已知点A(1,2),B(3,1),C(2,2),D(1,m)
(1)若向量∥,求实数m的值;
(2)若m=3,求向量与的夹角.
参考答案:
(1)1;(2).
【分析】
(1) 先求出,的坐标,再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解;(2) 先求出,的坐标和模,再求,的数量积,即可求向量与的夹角.
【详解】(1)因A(1,2),B(3,1),C(2,2),D(1,m),
所以,,
若向量∥,则,即,
(2) 若m=3,则,,
所以,,,
所以,
故向量与的夹角为 .
【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理,求向量的夹角要选择合适的公式.
21. (本题满分13分)已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点在椭圆上,且,⊙是以为直径的圆,直线:与⊙相切,并且与椭圆交于不同的两点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当,且满足时,求弦长的取值范围.
参考答案:
(1)依题意,可知,∴,
解得
∴椭圆的方程为………………………5分
(2)直线:与⊙相切,
则,即,……6分
由,得,
∵直线与椭圆交于不同的两点
设∴,
,
∴……………….9分
∴∴,
∴…………….11分
设,
则,
∵在上单调递增∴……………13分
22. 已知
(1)求的最小正周期和单调递增区间
(2)若关于x的方程在区间上有解,求k的取值范围
参考答案:
解:(1)由题意可知:
,
的最小正周期为,由,得,,
单调增区间为,,;
(2),,,
的取值范围是,,
的取值范围是,,
,.