湖北省宜昌市第五中学2021年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,侧棱PA,PB,PC两两垂直,且,若以P为球心且1为半径的球与三棱锥P-ABC公共部分的体积为,球O的体积为,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由题意可知是半径为1的球的体积的,把三棱锥补成正方体,利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.
【详解】由题意易得:,
将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球,直径为:,
从而,,
所以,
故选B.
【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,则其外接球半径公式为: .
2. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( )
A. B. C.. D.
参考答案:
C
3. 已知集合,集合,则=
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知正角的终边上一点的坐标为(),则角的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5.
A.2 B.-2 C. D.1
参考答案:
C
6. 已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当时,,如果直线与曲线恰有两个不同的交点,则实数=( )
A. B. C.0 D.
参考答案:
D
7. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
8. 已知P为双曲线右支上任意一点,Q与P关于x轴对称,F1,F2为双曲线的左、右焦点,则()
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
参考答案:
B
【分析】
设出P的坐标,求出Q坐标,求出焦点坐标,利用向量的数量积求解即可.
【详解】P为双曲线x2﹣y2=1右支上任意一点,Q与P关于x轴对称,F1(,0),F2(,0)为双曲线的左,右焦点,
设P(t,m),则Q(t,﹣m),根据点P在双曲线上得到:t2﹣m2=1,
则(t,m)?(t,-m)=t2﹣m2﹣2=1﹣2=﹣1.
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,向量的数量积的求法,考查计算能力.
9. 已知f(x)=,若a,b,c,d是互不相同的四个正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是( )
A.(21,25) B.(21,24) C.(20,24) D.(20,25)
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】图象法:画出函数y=f(x)的图象,根据图象分析a,b,c,d的关系及取值范围,从而求出abcd的取值范围.
【解答】解:先画出f(x)=的图象,如图:
∵a,b,c,d互不相同,不妨设a<b<c<d.
且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),3<c<4,d>6.
∴﹣log3a=log3b,c+d=10,
即ab=1,c+d=10,
故abcd=c(10﹣c)=﹣c2+10c,由图象可知:3<c<4,
由二次函数的知识可知:﹣32+10×3<﹣c2+10c<﹣42+10×4,
即21<﹣c2+12c<24,
∴abcd的范围为(21,24).
故选:B.
【点评】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力,以及对数函数图象的特点,注意体会数形结合思想在本题中的运用.
10. 已知 = ,则 + +… + = ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是 .
参考答案:
略
12. 设为平面上过点(0,1)的直线,的斜率等可能地取:,用X表示坐标原点到的距离,则随机变量X的数学期望是_______
参考答案:
13. 若,则的取值范围是 .
参考答案:
14. 若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,4]
【考点】函数恒成立问题.
【专题】综合题;函数思想;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由已知可得a≤x+2lnx+,x>0,令y=x+2lnx+,利用导数求出x=1时,y取最小值4,由此可得实数a的取值范围.
【解答】解:∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x+2lnx+,x>0,
令y=x+2lnx+,
则y′=1+﹣=,
由y′=0,得x1=﹣3,x2=1,
当x∈(0,1)时,y′<0,函数y=x+2lnx+为减函数;
当x∈(1,+∞)时,y′>0,函数y=x+2lnx+为增函数.
∴x=1时,ymin=1+0+3=4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,4].
故答案为:(﹣∞,4].
【点评】本题考查恒成立问题,训练了利用导数求函数的最值,训练了分离变量法,是中档题.
15. 若关于的不等式:的解集为,则实数的取值范围为
参考答案:
16. 若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为
参考答案:
略
17. 为了考察某校各班参加数学竞赛的人数,在全校随机抽取个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为,样本方差为,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最小值为 .
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 记函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.
(1)求和;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
19. 在△ABC中,内角A、B、C所对的边的长分别为a,b,c,证明下面问题.
(Ⅰ)+++abc≥2;
(Ⅱ)++≥.
参考答案:
【考点】R6:不等式的证明.
【分析】利用三项的均值不等式可得结论.
【解答】证明:(Ⅰ)因为a,b,c为正实数,
由均值不等式可得,即
所以,
而,所以.…
(Ⅱ).…
20. .
(1)证明:存在唯一实数a,使得直线和曲线相切;
(2)若不等式有且只有两个整数解,求a的范围.
参考答案:
(1)设切点为,则 ①,
和相切,则 ②,
所以,
即.令,所以单增.又因为,所以,存在唯一实数,使得,且.所以只存在唯一实数,使①②成立,即存在唯一实数使得和相切.
(2)令,即,所以,
令,则,由(1)可知,在上单减,在单增,且,故当时,,当时,,
当时,因为要求整数解,所以在时,,所以有无穷多整数解,舍去;
当时,,又,所以两个整数解为0,1,即,
所以,即,
当时,,因为在内大于或等于1,
所以无整数解,舍去,综上,.
21. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足.
(1)求角C的大小;
(2)若,△ABC的面积为,求c的大小.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)根据题意,由正弦定理和正余弦和差角公式进行化简,求得cosC的值,求出角C;
(2)先用面积公式求得b的值,再用余弦定理求得边c.
【详解】(1)在中,因为,
所以由正弦定理可得:,
所以,又中,,所以.
因为,所以.
(2)由,,,得.
由余弦定理得,所以.
【点睛】本题考查了解三角形中的正余弦定理和面积公式,解题关键是在于公式的合理运用,属于基础题.
22. 已知直线l的参数方程是(t是参数),圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ+).
(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;
(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.
参考答案:
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)求出圆C的直角坐标方程,从而能求出圆心的直角坐标.
(Ⅱ)直线l上的向圆C引切线,则切线长为,由此利用配方法能求出切线长的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵=2﹣2,
∴,
∴圆C的直角坐标方程为,即(x﹣)2+(y+)2=4,
∴圆心的直角坐标为(,﹣).
(Ⅱ)直线l上的向圆C引切线,则切线长为:
==,
∴由直线l上的点向圆C引切线,切线长的最小值为4.