湖南省郴州市复和中学2021年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,若,则
A. B.
C. D.无法判断与的大小
参考答案:
C
略
2. 函数的图象大致是( )
参考答案:
C
3. 面积为S的△ABC,D是BC的中点,向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图,其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的平均数和方差分别是
A.91 5.5 B.91 5
C.92 5.5 D.92 5
参考答案:
A
5. 已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )
A.
恒为正数
B.
恒为负数
C.
恒为0
D.
可正可负
参考答案:
A
考点:
等差数列的性质;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.3794729
专题:
计算题.
分析:
由函数f(x)是R上的奇函数且是增函数数列,知取任何x2>x1,总有f(x2)>f(x1),由函数f(x)是R上的奇函数,知f(0)=0,所以当x>0,f(0)>0,当x<0,f(0)<0.由数列{an}是等差数列,a1+a5=2a3,a3>0,知a1+a5>0,所以f(a1)+f(a5)>0,f(a3)>0,由此知f(a1)+f(a3)+f(a5)恒为正数.
解答:
解:∵函数f(x)是R上的奇函数且是增函数数列,
∴取任何x2>x1,
总有f(x2)>f(x1),
∵函数f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,
∵函数f(x)是R上的奇函数且是增函数,
∴当x>0,f(0)>0,
当x<0,f(0)<0.
∵数列{an}是等差数列,
a1+a5=2a3,
a3>0,
∴a1+a5>0,
则f(a1)+f(a5)>0,
∵f(a3)>0,
∴f(a1)+f(a3)+f(a5)恒为正数.
点评:
本题考查等差数列的性质和应用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地运用函数的性质进行解题.
6. 将函数图象向右平移()个单位,得到函数的图象,若在区间上单调递增,则的最小值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知直线,平面,且,下列命题中正确命题的个数是
①若,则 ②若,则
③若,则; ④若,则
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
略
8. 已知直线y=mx与函数 的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m的取值范围是( )
A.( ,4)
B.( ,+∞)
C.( ,5)
D.( , )
参考答案:
B
9. 已知,那么tan x等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. “sinα= “是“α=30°”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【解答】解:当α=150°,满足sinα=,但α=30°不成立.
若α=30°,满足sinα=,
∴“sinα= “是“α=30°”的必要不充分条件.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F1(﹣c,0)(c>0)作圆x2+y2=的切线,切点为E,直线F1E交双曲线右支于点P,若=(+),则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
12. 已知抛物线的焦点为F,过点A(4,4)作直线垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为 .
参考答案:
略
13. 在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是________.
参考答案:
14. 设 的最大值为16,则 。
参考答案:
15. 甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示,甲的平均数为b,乙的众数为a,且直线与以为圆心的圆交于B,C两点,且,则圆的标准方程为 ▲ .
参考答案:
16. 某个容量为的样本的频率分布直方图如左下,则在区间上的数据的频数为 .
参考答案:
17. 已知中,所对的边长分别为,则下列条件中能推出为锐角三角形的条件是----------_________. (把正确答案的序号都写在横线上)
①. ②.
③,. ④.
参考答案:
④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设的最小值为k.
(1)求实数k的值;
(2)设m,,,求证:.
参考答案:
(1);(2)见详解.
【分析】
(1)将函数表示为分段函数,再求其最小值.
(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.
【详解】(1)
当时,取得最小值,即.
(2)证明:依题意,,则.
所以
,
当且仅当,即,时,等号成立.
所以.
【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值,由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题,一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或(是正常数,)的值,求另一个的最值,这是一种常见的题型,解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.
19. (本小题满分12分)
某产品按行业生产标准分成个等级,等级系数依次为,其中为标准,为标准,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准生产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.
(1)从该厂生产的产品中随机抽取件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品,等级系数的为二等品,等级系数的为三等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率;
(2)已知该厂生产一件该产品的利润y(单位:元)与产品的等级系数的关系式为:
,从该厂生产的产品中任取一件,其利润记为,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求的分布列和数学期望.
参考答案:
解:(1)由样本数据知,30件产品中等级系数有6件,即一等品有6件,二等品有9件,三等品有15件--------------------------------------------------------------------3分
∴样本中一等品的频率为,故估计该厂生产的产品的一等品率为,------4分
二等品的频率为,故估计该厂生产的产品的二等品率为;-------------------5分
三等品的频率为,故估计该厂生产的产品的三等品的频率为.-------------6分
(2)∵的可能取值为:1,2,4
1
2
4
0.5
0.3
0.2
用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,由(1)可得,,-----------8分
∴可得的分布列如右:------------------------------------10分
其数学期望(元)---------12分
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足=﹣﹣…+(﹣1)n+1,求数列{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,设cn=2n+λbn,问是否存在实数λ使得数列{cn}(n∈N*)是单调递增数列?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明你的理由.
参考答案:
【考点】数列递推式;数列的求和;数列与函数的综合.
【分析】(1)由Sn=2an﹣2(n∈N*),可得a1=2a1﹣2,解得a1=2;n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,化为:an=2an﹣1.即可得出.
(2)==﹣﹣…+(﹣1)n+1,n≥2时, =﹣﹣…+,相减可得:bn=(﹣1)n.当n=1时, =,解得b1=.
(3)cn=2n+λbn,n≥3时,cn=2n+λ,cn﹣cn﹣1=2n﹣1+>0,即(﹣1)n?λ>﹣.①当n为大于或等于4的偶数时,λ>﹣.②当n为大于或等于3的奇数时,λ<.当n=2时,c2﹣c1>0,即λ<8.即可得出.
【解答】解:(1)由Sn=2an﹣2(n∈N*),可得a1=2a1﹣2,解得a1=2;
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2),化为:an=2an﹣1.
∴数列{an}是等比数列,公比为2,首项为2.∴an=2n.
(2)∵==﹣﹣…+(﹣1)n+1,
∴=﹣﹣…+,
∴=(﹣1)n+1,∴bn=(﹣1)n.
当n=1时, =,解得b1=.∴bn=.
(3)cn=2n+λbn,
∴n≥3时,cn=2n+λ,cn﹣1=2n﹣1+(﹣1)n﹣1λ,
cn﹣cn﹣1=2n﹣1+>0,即(﹣1)n?λ>﹣.
①当n为大于或等于4的偶数时,λ>﹣,即λ>﹣,当且仅当n=4时,λ>﹣.
②当n为大于或等于3的奇数时,λ<,当且仅当n=3时,λ<.
当n=2时,c2﹣c1=﹣>0,即λ<8.
综上可得:λ的取值范围是.
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法、不等式的解法、作差法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
21.
已知:三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为2,平面ABC⊥平面AA1C1C,
∠A1AC=60°.
(1)求证:B1C⊥平面A1BC1;
(2)求二面角B1-A1B-C1的大小;
(3)设O是线段A1C的中点,P是△ABC内部及边界上的一动点,使OP//平面A1BC1,试指出动点P的轨迹图形是什么?请说明你的理由.
参考答案:
解析:(1)证明:取A1C1的中点M,连CM、B1M
∵三棱柱ABC-A1B1C1 ∴各棱长均相等,∠A1AC=60°
∴△A1CC1与△A1B1C1都是等边三角形
∴
∵平面ABC⊥平面AA1C1C,
∴平面A1B1C1⊥平面AA1C1C
∴B1M⊥平面AA1C1C,由三垂线定理得:B1C⊥A1C1
又∵四边形BCC1B1是菱形,∴B1C⊥BC1
而
∴B1C⊥平面A1BC1
(2)连AB1与A1B交于G点,设B1C与BC1交于H点,连GH,则GH
取AC的中点N,连BN,A1N,可证AC⊥A1B ∴GH⊥A1B
又∵四边形AA1B1B是菱形