江苏省徐州市耿集中学2023年高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…P10,记mi= (i=1,2,…,10),则m1+m2+…+m10的值为( )
A.180 B. C.45 D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可得,然后把mi=转化为求得答案.
【解答】解:由图可知,∠B2AC3=30°,又∠AC3B3=60°,
∴,即.
则,
∴m1+m2+…+m10=18×10=180.
故选:A.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了三角形中边角关系的运用,考查了数学转化思想方法,是中档题.
2. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( )
A.4 B.2 C. D.2
参考答案:
A
【考点】球内接多面体.
【专题】计算题;转化思想;数学模型法;立体几何.
【分析】先根据题意可知AB是正方体的体对角线,利用空间两点的距离公式求出AB,再由正方体体对角线的平方等于棱长平方的3倍求得正方体的棱长.
【解答】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),
∴AB是正方体的体对角线,AB=,
设正方体的棱长为x,
则,解得x=4.
∴正方体的棱长为4,
故选:A.
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题.
3. 已知
A. B. C. D.
参考答案:
A
.
所以.
4. 设对任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
参考答案:
A
5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况用茎叶图表示如下:
根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是( )
A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
参考答案:
D
6. 如果,且,那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由,且,可得.再利用不等式的基本性质即可得出,
.
详解】,且,
.
,,
因此.
故选:.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.
7. 对于函数,当实数属于下列选项中的哪一个区间时,才能确保一定存在实数对(),使得当函数的定义域为时,其值域也恰好是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据函数零点的判断条件,即可得到结论.
【详解】∵ ,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵ , ,
∴ ,在区间 内函数f(x)存在零点,故选B.
9. 已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且,则的值为
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
参考答案:
C
【分析】
利用等差数列通项公式及前n项和公式,即可得到结果.
【详解】∵等差数列{an}的公差为2,且,
∴
∴
∴.
故选:C
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式,考查计算能力,属于基础题.
10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位,所得到的图象的解析式是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知2x+2﹣x=3,则 4x+4﹣x= .
参考答案:
7
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题.
【分析】直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案.
【解答】解:∵2x+2﹣x=3,
∴4x+4﹣x=(2x+2﹣x)2﹣2=32﹣2=7.
故答案为:7.
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值,关键是完全平方式的应用,是基础题.
12. 已知向量夹角为45°,且,则 .
参考答案:
的夹角,,,,.
13. 函数的定义域为 .
参考答案:
(,1]
【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题.
【分析】函数的定义域为:{x|},由此能求出结果.
【解答】解:函数的定义域为:
{x|},
解得{x|},
故答案为:(].
【点评】本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
14. 已知圆柱的底面圆的半径为2,高为3,则该圆柱的侧面积为________.
参考答案:
12π
【分析】
圆柱的侧面打开是一个矩形,长为底面的周长,宽为圆柱的高,即,带入数据即可。
【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2,所以圆柱的底面圆的周长为,则该圆柱的侧面积为.
【点睛】此题考察圆柱侧面积公式,属于基础题目。
15. (填“”或“”).
参考答案:
>
16. 设 (),则的最大值为 ,此时自变量x的值为 .
参考答案:
2;
,所以最大值为2,
此时,,得,又,所以。
17. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当时,, 则在时的解析式是 _______________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)已知函数,
(1)证明函数的单调性;(2)求函数的最小值和最大值。
参考答案:
(1)设,则 ……2分
∴ ……8分
∴ ∴ 上是增函数 ……10分
(2)由(1)可知上是增函数,
∴ 当当 ……14分
19. 函数f(x)=6cos2+sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈(﹣,),求f(x0+1)的值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)变形可得f(x)=2sin(ωx+),由又由三角形的知识和周期公式可得ω=,由振幅的意义可得值域;
(2)由已知和(1)的解析式可得sin(x0+)=,进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos(x0+)=,代入f(x0+1)=2sin(x0++)=2× 计算可得.
【解答】解:(1)由已知得f(x)=6cos2+sinωx﹣3
=3cosωx+sinωx=2sin(ωx+)
又△ABC为正三角形,且高为2,可得BC=4.
∴函数f(x)的最小正周期为8,即=8,
解得ω=,∴f(x)=2sin(x+),
∴函数f(x)的值域为:;
(2)∵f(x0)=,
∴2sin(x0+)=,
故sin(x0+)=,
∵x0∈(﹣,),∴x0+∈(﹣,),
∴cos(x0+)==
∴f(x0+1)=2sin(x0++)
=2× =
20. (12分)某学校900名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14],第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若成绩小于14秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数;
(2)请估计学校900名学生中,成绩属于第四组的人数;
(3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数和中位数.
参考答案:
(Ⅰ)样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=(人) -----------------(4分)
(Ⅱ)学校900名学生中,成绩属于第四组的人数=(人) ----------------(8分)
(Ⅲ)由图可知众数落在第三组,是
因为数据落在第一、二组的频率
数据落在第一、二、三组的频率
所以中位数一定落在第三组中.
假设中位数是,所以
解得中位数 -----------------------------------------(12分)
21. (本小题满分12分)如图,在中,,
⑴ 求的值;
⑵ 设BC的中点为D,求中线AD的长。
参考答案:
22. 已知函数,且.
(1)求m的值;
(2)判断在(0,+∞)上的单调性,并用单调性定义给予证明.
参考答案:
解:(1)∵f(4)=-,∴-4m=-,∴m=1.
(2)f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,证明如下:
任取0<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(-x1)-(-x2)=(x2-x1)(+1).
∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,+1>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),即f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减.
略