内蒙古自治区呼和浩特市宇星中学2021-2022学年高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等比数列a,2a+2,3a+3,…,则第四项为( )
A.- B. C.-27 D.27
参考答案:
A
2. 给出下面四个函数,其中既在上的增函数又是以为周期的偶函数的函数是( )
A. B. C.y=cos2x D.
参考答案:
B
3. 若直线的倾斜角为,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人.为了调查他们的身体状况,需从他们中抽取一个容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是( )
A.简单随机抽样 B.系统抽样
C.分层抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样
参考答案:
D
5. 设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数,其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察,函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据,函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. 如图所示,单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形(阴影部分)面积的2倍,则函数的图象是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m⊥α,m∥n,则n⊥α
C.若m∥α,n?α,则m∥n D.若m⊥n,n?α,则m⊥α
参考答案:
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】在A中,n∥α或n?α;在B中,由线面垂直的判定定理得n⊥α;在C中,m与n平行或异面;在D中,m与α相交、平行或m?α.
【解答】解:由m,n表示两条不同直线,α表示平面,知:
在A中:若m∥α,m∥n,则n∥α或n?α,故A正确;
在B中:若m⊥α,m∥n,则由线面垂直的判定定理得n⊥α,故B正确;
在C中:若m∥α,n?α,则m与n平行或异面,故C错误;
在D中:若m⊥n,n?α,则m与α相交、平行或m?α,故D错误.
故选:B.
【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
8. 公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且成等差数列,若=1,则=( )
A.-20 B.0 C.7 D.40
参考答案:
A
9. 等比数列{an}的公比为q,则q>1是“对于任意n∈N+”都有an+1>an的_______条件。
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
参考答案:
D
10. 已知函数则( )
A.1 B.3 C.5 D.7
参考答案:
C
,,
故答案为C。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过两圆和的交点的直线方程________.
参考答案:
4 x+3y+13=0
12. 已知函数,试求函数f(2x-3)的表达式 .
参考答案:
13. 在⊿ABC中,,且三角形的面积为,若不是最大边,则边= 。
参考答案:
14. 在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点的坐标是
参考答案:
略
15. 集合A={x||x-a|≤1},B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=,则实数a的取值范围是________.
参考答案:
(2,3)
16. 对于函数=,给出下列四个命题:
①该函数是以为最小正周期的周期函数;
②当且仅当 (k∈Z)时,该函数取得最小值-1;
③该函数的图象关于 (k∈Z)对称;
④当且仅当 (k∈Z)时,0<≤.
其中正确命题的序号是________ (请将所有正确命题的序号都填上)
参考答案:
③、④
略
17. (5分)已知函数f(x)是定义为在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x+1)成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣,]
考点: 函数恒成立问题.
专题: 计算题;数形结合;分类讨论;函数的性质及应用.
分析: 由于当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2).可得当0≤x≤a2时,f(x)=﹣x;当a2<x≤2a2时,f(x)=﹣a2;当x>3a2时,f(x)=x﹣3a2.画出其图象.由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,即可画出x<0时的图象.由于x∈R,f(x﹣1)≤f(x+1),即有?x∈R,f(x﹣2)≤f(x),可得6a2≤2,解出即可.
解答: ∵当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2).
∴当0≤x≤a2时,f(x)=(a2﹣x+2a2﹣x﹣3a2)=﹣x;
当a2<x≤2a2时,f(x)=﹣a2;
当x>3a2时,f(x)=x﹣3a2.
画出其图象.
由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,即可画出x<0时的图象,
与x>0时的图象关于原点对称.
∵?x∈R,f(x﹣1)≤f(x+1),
即有?x∈R,f(x﹣2)≤f(x),
∴6a2≤2,
解得﹣≤a.
∴实数a的取值范围为[﹣,].
故答案为:[﹣,].
点评: 本题考查了函数奇偶性、周期性,考查了分类讨论的思想方法,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}为等比数列,,公比,且成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,,求使的n的取值范围.
参考答案:
(1) ;(2)
【分析】
(1)利用等差中项的性质列方程,并转化为的形式,由此求得的值,进而求得数列的通项公式.(2)先求得的表达式,利用裂项求和法求得,解不等式求得的取值范围.
【详解】解:(1)∵成等差数列,得,
∵等比数列,且,∴ 解得或
又,∴,∴
(2)∵,∴
∴
故由,得.
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质,考查等比数列基本量的计算,考查裂项求和法,考查不等式的解法,属于中档题.
19. 已知函数是二次函数,且,.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求证在区间上是减函数.
参考答案:
解:(Ⅰ)设
又
结合已知得
(Ⅱ)证明:设任意的且
则
又由假设知 而
在区间上是减函数.
略
20. 如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.求证:
(1)CD⊥PD;
(2)EF⊥平面PCD.
参考答案:
【考点】LW:直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)由线面垂直得CD⊥PA,由矩形性质得CD⊥AD,由此能证明CD⊥PD.
(2)取PD的中点G,连结AG,FG.由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形,所以AG∥EF.再由已知条件推导出EF⊥CD,由此能证明EF⊥平面PCD.
【解答】(本题满分8分)
证明:(1)∵PA⊥底面ABCD,∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中,CD⊥AD,且AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G,连结AG,FG.
又∵G、F分别是PD、PC的中点,
∴GF平行且等于CD,
∴GF平行且等于AE,
∴四边形AEFG是平行四边形,∴AG∥EF.
∵PA=AD,G是PD的中点,
∴AG⊥PD,∴EF⊥PD,
∵CD⊥平面PAD,AG?平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面PCD.
21. (1)设x、y、zR,且x+y+z=1,求证x2+y2+z2≥;
(2)设二次函数f (x)=ax2+bx+c (a>0),方程f (x)-x=0有两个实根x1,x2,
且满足:0<x1<x2<,若x(0,x1)。
求证:x<f (x)<x1
参考答案:
(1)∵x+y+z=1,∴1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
≤3(x2+y2+z2)
∴x2+y2+z2≥
(2)令F(x)=f(x)-x,x1,x2是f(x)-x=0的根,
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)
∵0<x<x1<x2< ∴x-x1<0,x-x2<0 a>0
∴F(x)>0 即x<f (x)
另一方面:x1-f (x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<
∴x1-x>0 1+a(x-x2)=1+a x-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0 ∴f(x)<x1
综上可得:x<f(x)<x1
22. 已知定义在区间[]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,当x≥时,f(x)=-sinx.
(1)作出y=f(x)的图象;
(2)求y=f(x)的解析式;
(3)若关于x的方程f(x)=a有解,将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma,求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围.
参考答案:
(1)见解析;(2)f(x)=(3)见解析
【分析】
(1)先根据当时,f(x)=﹣sinx画出在[,]上的图象;再根据图象关于直线对称把另一部分添上即可;
(2)先根据x∈[﹣π,]得到x∈[,],再结合当时,f(x)=﹣sinx即可求出y=f(x)的解析式;
(3)结合图象可得:关于x的方程f(x)=a有解可以分为四个根,三个根,两个根三种情况,再分别对每种情况求出所有的解的和Ma即可.
【详解】(1)y=f(x)的图象如图所示.
(2)任取x∈,
则-x∈,
因函数y=f(x)图象关于直线x=对称,
则f(x)=f,又当x≥时,f(x)=-sinx,
则f(x)=f=-sin=-cosx,
即f(x)=
(3)当a=-1时,f(x)=a的两根为0,,则Ma=;
当a∈时,f(x)=a的四根满足x1<x2<<x3<x4,由对称性得x1+x2=0,x3+x4=π,则Ma=π;
当a=-时,f(x)