2023年湖北省荆州市洪湖铁牛中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过点(3,1)且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是( )
A.2x+y﹣7=0 B.x+2y﹣5=0 C.x﹣2y﹣1=0 D.2x﹣y﹣5=0
参考答案:
A
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】由两直线垂直的性质可知,所求的直线的斜率k,然后利用直线的点斜式可求直线方程
【解答】解:由两直线垂直的性质可知,所求的直线的斜率k=﹣2
所求直线的方程为y﹣1=﹣2(x﹣3)即2x+y﹣7=0
故选:A.
2. 设集合,则下列关系成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 已知函数,则f(x)的定义域为
A、(0,1) B、(1,2] C、(0,4] D、(0,2]
参考答案:
C
要使函数有意义,则,解得0<x≤4,故f(x)的定义域为(0,4].
4. 设,且,则下列不等式恒成立的是()
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
逐一分析选项,得到正确答案.
【详解】由已知可知,可以是正数,负数或0,
A.不确定,所以不正确;
B.当时,两边同时乘以,应该,所以不正确;
C.因为有可能等于0,所以,所以不正确;
D.当时,两边同时乘以,,所以正确.
故选D.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于简单题型.
5. 若a>b>0,则下列不等关系中不一定成立的是( )
A.a+c>b+c B.ac>bc C.a2>b2 D.
参考答案:
B
【考点】R3:不等式的基本性质.
【分析】利用不等式的基本性质可得,当a>b>0时,a+c>b+c,a2>b2,;c>0时,ac>bc;c=0时,ac=bc;c<0时,ac<bc,由此可得结论.
【解答】解:利用不等式的基本性质可得:
∵a>b>0,∴a+c>b+c,a2>b2,,∴A,C,D正确
∵a>b>0,∴c>0时,ac>bc;c=0时,ac=bc;c<0时,ac<bc,故B错误
故选B.
6. 为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )
A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位
参考答案:
C
试题分析:,所以只需把函数的图像向左平行移动个单位
考点:三角函数图像平移
7. 以下各组函数中,表示同一函数的是( )
①与;②y = x – 2与;
③与它的反函数;④y = |x|与y =
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
参考答案:
D
8. 下列说法中正确的有( )
①若任取x1,x2∈I,当x1<x2时,f (x1)<f (x2),则y=f (x)在I上是增函数;
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=﹣在定义域上是增函数;
④y=的单调递减区间是(﹣∞,0)∪(0,+∞).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】①由递增函数的概念可判断①;
②函数y=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,可判断②;
③函数y=f(x)=﹣在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是增函数,f(﹣1)=1>f(1)=﹣1,故在定义域上不是增函数,可判断③;
④y=的单调递减区间是(﹣∞,0),(0,+∞),可判断④.
【解答】解:①若任取x1,x2∈I,当x1<x2时,f (x1)<f (x2),则y=f (x)在I上是增函数,这是增函数的定义,故①正确;
②函数y=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故②错误;
③函数y=﹣在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是增函数,f(﹣1)=1>f(1)=﹣1,在定义域上不是增函数,故③错误;
④y=的单调递减区间是(﹣∞,0),(0,+∞),故④错误.
故选:B.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查函数的单调性,属于中档题.
9.
A. B. C. D.1
参考答案:
C
10. 设, 则( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,,则 .
参考答案:
12. 执行如图所示的程序框图,若输出的y=6,则输入的x= .
参考答案:
-6或3
13. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且,则满足的的取值范围为__________.
参考答案:
(-1,1)
【分析】
由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足的x的取值范围即可.
【详解】∵定义在R上的偶函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,
∴则由f(x)<0=f(),可得,
即x,
故答案为:(-1,1).
14. 如图,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=, =2,则?的值为 .
参考答案:
-2
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可.
【解答】解:∵ =﹣,
∴?=(+)?,
=(+)?,
=(+﹣)(﹣),
=(+)(﹣),
=(?+﹣2),
=(3×3×+32﹣2×32),
=﹣2,
故答案为:﹣2.
【点评】本题主要考察了向量的数量积的定义的应用,解题中要注意向量加法、减法的三角形法则及向量共线定理的应用
15. 如图,平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四条边上,若直线EF与GH相交,则它们的交点M必在直线 ☆ 上。
参考答案:
AC
16. 在数列中,,且,则____________。
参考答案:
99
17. 已知关于x方程|x2+2x﹣3|=a(a∈R)有两个实数解,则a的取值范围是__________.
参考答案:
a=0,或a>4
考点:函数的零点与方程根的关系.
专题:数形结合;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用.
分析:画出函数y=|x2+2x﹣3|的图象,数形结合,可得满足条件的a的取值范围.
解答:解:函数y=|x2+2x﹣3|的图象,由函数y=x2+2x﹣3的图象纵向对折变换得到,
如下图所示:
若关于x方程|x2+2x﹣3|=a(a∈R)有两个实数解,
则a=0,或a>4,
故答案为:a=0,或a>4
点评:本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,画出满足条件的函数图象,是解答的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和为,且满足,.
(1)求;
(2)求数列的通项公式;
(3)求证:.
参考答案:
略
19. (1)已知=3,求x+x﹣1的值;
(2)计算的值.
参考答案:
解:(1),x+x﹣1==9﹣2=7
(2)
=2﹣2×2﹣log63﹣log62
=﹣3.
考点:对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
专题:计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
分析:(1)利用平方关系,直接求解即可.
(2)利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可.
解答:解:(1),x+x﹣1==9﹣2=7
(2)
=2﹣2×2﹣log63﹣log62
=﹣3.
点评:本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用,考查计算能力
20. (12分)已知A、B、C为△ABC的三内角,且其对边分别为a、b、c,若cosBcosC﹣sinBsinC=.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积.
参考答案:
考点: 解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值.
专题: 综合题.
分析: (Ⅰ)根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式,得到cos(B+C)的值,由B+C的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数,然后由三角形的内角和定理求出A的度数;
(Ⅱ)根据余弦定理表示出a的平方,配方变形后,把a,b+c及cosA的值代入即可求出bc的值,然后由bc及sinA的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答: (Ⅰ)∵,
∴
又∵0<B+C<π,∴,
∵A+B+C=π,∴.
(Ⅱ)由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc?cosA
得
即:,∴bc=4,
∴.
点评: 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,余弦定理及三角形的面积公式,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
21. 四面体D-ABC,中,AB=BC,在侧面DAC中,中线AN⊥中线DM,且DB⊥AN
(1)求证:平面ACD⊥平面ABC;
(2)若AN=4,DM=3,BD=5,求四面体D-ABC的体积。
参考答案:
(1)且
又且为中点
(2)过作,设
则
又,
22. 已知数列{an}满足:,.
(1)设数列{bn}满足:,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求出数列{an}的通项公式和前n项和Sn.
参考答案:
⑴见证明;⑵
【分析】
(1)由递推公式计算可得,且,据此可得数列是等比数列.
(2)由(1)可得,则,分组求和可得.
【详解】(1),
又
是以2为首项,2为公比的等比数列,
(2)由(1)得,,
.
【点睛】数列求和的方法技巧:
(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.
(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.
(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.