2023年湖北省十堰市东风中学高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为( )
A.120 B.99 C.11 D.121
参考答案:
A
由,所以,即,即,解得.选A.
2. 函数在[-2,2]上的最大值为2,则a的取值范围是
A. B. C.(-∞,0) D.
参考答案:
D
3. 已知三个正数a,b,c,满足,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
因为三个正数a,b,c,满足,结合几何意义可知所求的的范围关键是求解的范围,那么利用斜率的意义可知选B
4. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点到焦点的距离为5,则抛物线方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 函数( )
A. 图象无对称轴,且在R上不单调
B. 图象无对称轴,且在R上单调递增
C. 图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调
D. 图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增
参考答案:
D
将题目简化下,原函数与|x-1|+|x-2|+|x-3|的图像性质类似
可以用图像,做一条x轴,标出1,2,3的坐标
函数的集合意义即x轴上的点到3个点的距离和
然后分x在1点左方,1和2之间,2和3之间,3点右方来讨论
不难得出上述结论。其对称轴为x=1006,在对称轴的右方单调递增,左方单调递减。
6. 设方程10x=|lg(﹣x)|的两根分别为x1、x2,则( )
A.x1x2<0 B.x1x2=1 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1
参考答案:
D
【考点】指数函数与对数函数的关系.
【分析】作出函数对应的图象,判断两个根的取值的大体范围,然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可.
【解答】解:作出函数y=10x,y=|lg(﹣x)|的图象,由图象可知,两个根一个小于﹣1,一个在(﹣1,0)之间,
不妨设x1<﹣1,﹣1<x2<0,
则10=lg(﹣x1),
10=|lg(﹣x2)|=﹣lg(﹣x2).
两式相减得:
lg(﹣x1)﹣(﹣lg(﹣x2)=lg(﹣x1)+lg(﹣x2)=lg(x1x2)=10﹣10<0,
即0<x1x2<1.
故选:D.
7. 设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
D
8. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是
(A)120 (B)60 (C)24 (D)20
参考答案:
B
9. 函数的零点个数为( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
10. 已知倾斜角为的直线与直线x -2y十2=0平行,则tan 2的值
A. B. C. D.
参考答案:
B
直线的斜率为,即直线的斜率为,所以,选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点(-2,1)到直线3x-4y-2=0的距离等于_________.
参考答案:
略
12.
已知实数满足条件则的最大值为 .
参考答案:
答案:
13. 如图所示的程序是计算函数函数值的程序,若输出的值为4,则输入的值是 .
参考答案:
-4,0,4
14. 若实数满足,且,则的值为 .
参考答案:
15. 等差数列的前项和为,若,则公差 ;通项公式 .
参考答案:
1,
因为,所以
16. 已知函数,对于实数、、有,,则的最大值等于 .
参考答案:
17. 设F1、F2分别为双曲线C1:的左、右焦点,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆C2与双曲线的右支交于P、Q两点,若△PF1F2的面积为4,∠F1PF2=75°,则C2的方程为 .
参考答案:
(x+2)2+y2=16
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得△PF1F2为等腰三角形,且腰长为2c,根据三角形的面积公式计算即可.
【解答】解:∵|F1F2|为半径的圆C2与双曲线的右支交于P、Q两点,∠F1PF2=75°,
∴∠PF1F2=30°,
∵△PF1F2的面积为4,
∴×2c?2c?sin30°=4,
∴c=2,
∴C2的方程为(x+2)2+y2=16,
故答案为:(x+2)2+y2=16.
【点评】本题考查了双曲线的定义和方程,以及圆的定义和方程以及三角形的面积公式,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数
模型的基本要求,并分析函数是否符合这个要求,并说明原因;
(2)若该公司采用函数作为奖励函数模型,试确定最小的正整数的值.
参考答案:
(1)设奖励函数模型为,按公司对函数模型的基本要求,函数满足:当时,
① 是定义域上是增函数;
② 恒成立;
③ 恒成立. 3分
对于函数模型,当时,是增函数;
,∴恒成立;
但当时,,即不恒成立.
综上,该函数模型不符合公司要求. 6分
(2)对于函数模型,即,
① 当,即时,在上是增函数; 8分
② 为使对在恒成立,则,即; 10分
③ 为使对在恒成立,则,
即,即对恒成立, 12分
综上,,又,∴. 14分
19. (13分)已知A(0,2),B(3,1)是椭圆G: (a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆G的离心率;
(2)已知直线l过点B,且与椭圆G交于另一点C(不同于点A),若以BC为直线的圆经过点A,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)将A和B点的坐标代入椭圆G的方程,列出方程组求出a和b的值,再求出c和离心率;
(2)由(1)求出椭圆G的方程,对直线l的斜率进行讨论,不妨设直线l的方程,与椭圆G的方程联立后,利用韦达定理写出式子,将条件转化为,由向量数量积的坐标运算列出式子,代入化简后求出k的值,即得直线l的方程.
【解答】解:(1)∵椭圆G过A(0,2),B(3,1),
∴,解得,
则=,
∴椭圆G的离心率e==;
(2)由(1)得,椭圆G的方程是,
①当直线的斜率不存在时,则直线BC的方程是x=3,
代入椭圆G的方程得,C(3,﹣1),不符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为k,C(x1,y1),
则直线BC的方程为y=k(x﹣3)+1,
由得,(3k2+1)x2﹣6k(3k﹣1)x+27k2﹣18k﹣3=0,
∴3+x1=,3x1=,则x1=,
∵以BC为直径圆经过点A,
∴AB⊥AC,则,即(3,﹣1)?(x1,y1﹣2)=0,
∴3x1﹣y1+2=0,即3x1﹣[k(x1﹣3)+1]=0,
∴(3﹣k)x1+3k+1=0,(3﹣k)?+3k+1=0,
化简得,18k2﹣7k﹣1=0,
解得k= 或k=,
∴直线BC的方程为y=(x﹣3)+1或y=(x﹣3)+1,
即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0,
综上得,直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0.
【点评】本题考查了待定系数法求椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,向量数量积的坐标运算,以及“设而不求”的解题思想方法,考查转化思想,化简、变形、计算能力.
20. 已知α为锐角,且,函数,数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求证:数列{an+1}为等比数列;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】数列与函数的综合.
【专题】综合题;转化思想.
【分析】(1)由,将代入可求解,由α为锐角,得α=,从而计算得进而求得函数表达式.
(2)由an+1=2an+1,变形得an+1+1=2(an+1),由等比数列的定义可知数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(3)由(2)得an=2n﹣1,转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式,可计算得.
解:(1)∵
又∵α为锐角
∴α=
∴
∴f(x)=2x+1
(2)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1)
∵a1=1
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(3)由上步可得an+1=2n,∴an=2n﹣1
∴
【点评】本题主要考查数列与三角函数的综合运用,主要涉及了倍角公式,求函数解析式,证明数列以及前n项和.
21. (本小题满分13分) 如图,三棱柱中,平面,,.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
参考答案:
解法一
(1)∵∥ ∴是异面直线所成的角 …………………1分
∵ 平面,
∴ 在直角中,,在直角中,
∵ ∴ ∴ 在中,
∴ 在中, ……………………………………3分
∴为直角三角形 ∴ ∴ ……………………4分
(2)取中点,中点,连接
∵ ∴ 且
∵ 平面 ∴ ∥ ∴
∴ 就是二面角的平面角 ………………………………6分
延长至,使 ∴ 与平行且相等
∴ 四边形为平行四边形 ∵ ∥ ∴平面 ∴
∴ 四边形为矩形 ……………………………………………………8分
∴ 在直角中, …………………9分
(3)取的中点,连 ∵ 为正三角形 ∴ 且
∵ ,是平面内的两条相交直线
∴ 平面 ………………………………………………………………11分
设点到平面的距离为,显然 …………………………12分
∴
∴ ∴ ………………13分
解法二
(1)∵, ∴ 为正三角形
取的中点为,连,∴ ∴
∵ 平面 ∴ 平面 ∴ 两两垂直 …2分
以为坐标原点,分别以的方向为轴的方向,
建立如图空间直角坐标系.则 ……3分
∴
∵
∴ ∴ …………………………………………………………5分
(2),设平面的法向量为
∵ ∴ ,令,则
∴ ……………………………